EL Lehmann은 그의 고전적인 포인트 추정 이론 에서 pp 1-2에서이 질문에 대답합니다.

관측치는 이제 알려진 클래스에 속하는 공동 확률 분포 를 따르는 것으로 가정되는 임의의 변수에 의해 취해진 값으로 가정됩니다 .P

$P$

$P$

… 그 생각 … 우리가 지금 시점 추정에 전문하자 [분포의 규정 클래스] 정의 된 실수 기능이며, 우리의 가치를 알고 싶으면 g을 어떤에서의 실제 분포 [ 효과, θ ]. 불행히도, θ 및 따라서 g ( θ ) 는 알려져 있지 않다. 그러나, 데이터의 추정치 얻을 수있다 g ( θ ) , 하나 개의 희망에 가까운 것이라고 값 g ( θ를 ) .g

$g$

$g$g

$g$

$g$θ

$\theta$

$\theta$θ

$\theta$

$\theta$g(θ)

$g(\theta )$

$g(\theta)$g(θ)

$g(\theta )$

$g(\theta)$g(θ)

$g(\theta )$

$g(\theta)$

즉, 추정기 는 특정 문제가 생성 할 수있는 가능한 데이터 세트에 대한 숫자 ( 추정값 )를 나타내는 명확한 수학적 절차입니다 . 이 숫자는 데이터 생성 프로세스의 명확한 수치 적 특성 ( ) 을 나타 내기위한 것입니다 . 우리는 이것을 “estimand”라고 부를 수 있습니다.g(θ)

$g(\theta )$

$g(\theta)$

추 정부 자체는 하지 확률 변수 : 그냥 수학 함수이다. 그러나 생성되는 추정치는 자체가 임의 변수로 모델링 된 데이터를 기반으로합니다. 이것은하게 추정 확률 변수로하고 (데이터에 따른 것으로 생각) 특정 예측 을위한 특정 데이터 집합 그 확률 변수를 실현하게된다.

하나의 (종래의) 정규 최소 제곱 공식에서, 데이터는 순서 쌍 됩니다. 는 X 난 (이들은 예를 들면, 투여 약물의 양이 될 수있다)을 실험에 의해 결정되었다. 각 Y I (예를 들어 약물에 대한 반응은) 일반 인 확률 분포로부터 알 수 있지만, 평균 올 가정 μ I 및 공통 분산 σ 2 . 또한, 평균은 공식 μ i = β 0을 통해 x i 와 관련이 있다고 가정합니다(xi,yi)

$(x_i,y_i)$

$(x_i, y_i)$xi

$x_i$

$x_i$yi

$y_i$

$y_i$μi

${\mu }_i$

$\mu_i$σ2

${\sigma }^2$

$\sigma^2$xi

$x_i$

$x_i$ . 이 세 가지 매개 변수 σ , β 0 및 β 1 은 x i의 값에 대한 y i 의 기본 분포를 결정합니다. 따라서해당 분포의모든특성은 ( σ , β 0 , β 1 ) 의 함수로 생각할 수 있습니다. 이러한 특성의 예는 절편 β 0 , 기울기 β 1 , cos 값 ( σ + βμi=β0+β1xi

${\mu }_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_i$

$\mu_i = \beta_0 + \beta_1 x_i$σ

$\sigma$

$\sigma$β0

${\beta }_0$

$\beta_0$β1

${\beta }_1$

$\beta_1$yi

$y_i$

$y_i$xi

$x_i$

$x_i$(σ,β0,β1)

$(\sigma ,{\beta }_0,{\beta }_1)$

$(\sigma, \beta_0, \beta_1)$β0

${\beta }_0$

$\beta_0$β1

${\beta }_1$

$\beta_1$또는x=2값의 평균(이 공식에 따라)은β0+2β1이어야합니다.cos(σ+β20−β1)

$\cos (\sigma +{\beta }_0^2-{\beta }_1)$

$\cos(\sigma + \beta_0^2 - \beta_1)$x=2

$x=2$

$x=2$β0+2β1

${\beta }_0+2{\beta }_1$

$\beta_0 + 2 \beta_1$

이 OLS 문맥에서, 비 예제 추정기의이 값에 맞춰 절차 것이다 경우, X는 2로 동일하게 설정 하였다 이것은 하지 의 값 때문에 추정기 Y가 인 랜덤 (방법으로 완전히 분리 데이터의 임의성) : 분포와 관련되어 있지만 분포의 (정확한 수치) 속성이 아닙니다. (방금 보았 듯이 β 0 + 2 β 1 과 동일한 x = 2에 대한 y 의 기대치 를 추정 할 수 있습니다.)y

$y$

$y$x

$x$

$x$y

$y$

$y$y

$y$

$y$x=2

$x=2$

$x=2$β0+2β1

${\beta }_0+2{\beta }_1$

$\beta_0 + 2 \beta_1$

Lehmann의 공식에서 거의 모든 공식은 거의 모든 특성을 평가할 수 있습니다. 추정기와 추정치 사이에는 고유 한 수학적 연결이 없습니다. 그러나 추정량이 추정치에 합리적으로 근접 할 가능성을 미리 평가할 수 있습니다. 이를 수행하는 방법과이를 활용하는 방법은 추정 이론의 주제입니다.

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