P 또는 NP를 캡처하는 VO 로직의 자연적인 제한이 있습니까? 같이, 실제로 분석 계층 전체를

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Lauri Hella 및 José María Turull-Torres,
고차원 논리를 사용한 쿼리 쿼리 , TCS 355 197–214, 2006. doi : 10.1016 / j.tcs.2006.01.009

가변 순서 논리, 논리 VO를 제안합니다. 이를 통해 변수에 대한 차수를 수량화 할 수 있습니다. VO는 매우 강력하며 계산할 수없는 쿼리를 표현할 수 있습니다. (아래 Arthur Milchior가 지적한 바와 같이, 실제로 분석 계층 전체를 캡처합니다 .) 저자는 차수 변수에 대해 제한된 범용 정량화 만 허용하여 얻은 VO의 조각이 모든 ce 쿼리를 정확하게 표현함을 보여줍니다. VO는 차수 변수가 자연수를 넘어서도록하기 때문에 차수 변수의 경계는 분명히 자연스런 조건입니다.

P 또는 NP를 캡처하는 VO 조각이 있습니까?

유사하게, 고전적인 1 차 로직에서 객체 집합에 대한 정량화를 허용하면 2 차 로직 또는 SO 라는보다 강력한 로직이 제공 됩니다. SO는 다항식 계층 구조 전체를 캡처합니다 . 이것은 보통 PH = SO로 작성됩니다. 중요한 복잡성 클래스를 캡처하는 제한된 형식의 SO가 있습니다 : NP = SO, P = SO-Horn 및 NL = SO-Krom. 허용되는 수식의 구문에 제한을 두어 얻을 수 있습니다. $\exists$

\exists

$\exists$

따라서 흥미로운 클래스를 얻기 위해 SO를 제한하는 간단한 방법이 있습니다. P 또는 NP에 대해 대략 적절한 표현 수준 인 VO에 대한 유사한 간단한 제한이 있는지 알고 싶습니다. 그러한 제한이 알려지지 않은 경우, 후보 후보에 대한 제안 또는 그러한 제한이 존재하지 않는 이유에 대한 의견에 관심이 있습니다.

나는이 논문을 인용 한 몇 개의 논문을 확인하고 Google과 Scholar에서 명백한 문구를 확인했지만 분명히 관련성이없는 것을 발견했습니다. 1 차보다 더 강력한 논리를 다루는 대부분의 논문은 “합리적인”계산의 영역으로 힘을 낮추기위한 제한을 다루지 않는 것처럼 보이지만, 산술 및 분석 클래스의 우주에 머무를 내용은 보인다. 검색 할 포인터 나 분명하지 않은 문구에 만족합니다. 이것은 고차원의 로직을 사용하는 사람에게 잘 알려져 있습니다.

답변

참고 : 이것은 실제로 질문에 대한 답변이 아니며 답변으로 게시 된 의견입니다. 🙂

$\exists$

\exists

$\exists$ $P H$

P H

$PH$ $P$

P

$P$ $N P$

N P

$NP$

CE 세트를 캡처 할 수있는 무제한의 한정자가 하나 있습니까?

문제는 아마도 언어가 평등, 덧셈, 곱셈 (오른쪽?)과 같은 추가 기호없이 언어를 원할 것입니다. ce 세트를 캡처합니다. 이러한 기호를 언어로 허용하지 않으면 문제가 더 복잡해지며, 고차원 양자화기를 사용하여이를 정의 할 수는 있지만, 양자화 복잡성이 증가합니다. 따라서 단일 수량 자에 대한 귀하의 질문에 짧은 대답을하고 싶다면 모르겠습니다.

$A C^{0}$

A C^{0}

$AC^0$ $A C^{0}$

A C^{0}

$AC^0$ $c$

c

$c$ $e$

e

$e$ $x$

x

$x$

추가 의견 :

$A C^{0}$

A C^{0}

$AC^0$

답변

정보를 위해, VO는 실제로 당신이 말하는 것보다 훨씬 강력합니다. 여기에는 전체 분석 계층 (따라서 전체 산술 계층)이 포함됩니다. 결과는 게시되지 않았으며 어느 곳에도 제출되지 않았지만 내 페이지 www.milchior.fr/ho.pdf section 7 page 47에서 찾을 수 있습니다.

$\forall i \forall X^{i} \forall j \exists Y^{j} (X^{i} = Y^{j})$

\forall i \forall X^{i} \forall j \exists Y^{j} (X^{i} = Y^{j})

$\forall i \forall X^i\forall j\exists Y^j (X^i=Y^j)$ $\forall i \forall X^{i} \forall i \exists Y^{i} (X^{i} = Y^{i})$

\forall i \forall X^{i} \forall i \exists Y^{i} (X^{i} = Y^{i})

$\forall i \forall X^i\forall i\exists Y^i (X^i=Y^i)$ $i$

i

$i$ $X$

X

$X$ $^{i}$

^{i}

$^i$ $X$

X

$X$

$ϕ (i)$

ϕ (i)

$\phi(i)$ $i$

i

$i$ $k$

k

$k$ $i > k$

i > k

$i>k$ $ϕ (i)$

ϕ (i)

$\phi(i)$ $k$

k

$k$ $ϕ (i)$

ϕ (i)

$\phi(i)$ $\forall i ϕ (i)$

\forall i ϕ (i)

$\forall i \phi(i)$ $\forall i < k ϕ (i)$

\forall i < k ϕ (i)

$\forall i < k \phi(i)$

그렇지 않으면, 허용 된 최대 순서를 제한하여 VO를 확실히 억제 할 수 있습니다. 그러나 당신은 "고차"언어 (HO)를 얻습니다. 이것은 아마도 당신이 원하는 것이 아닙니다.

답변

당신의 의견에 대답하기 위해, 나는 Krom and Horn에 대해서만 말하기 위해 또 다른 대답을해야한다고 생각합니다.

혼과 크롬에서 만난 문제에 대한 논문의 5.3 쪽 34 절을 고차 논리로 읽어 보는 것이 좋습니다. 변수 순서 (동일한 상위 순서의 상위 집합 임)에서 동일한 문제가 발생합니다.

주의를 기울 였는지 모르겠지만 첫 번째 주문이 보편적 일 때 SO (krom)은 P와 같습니다. 실제로 존재하는 1 차 변수를 추가하면 NP- 완전 문제를 표현할 수 있습니다. (이전의 예를 기억하지 못하며 원하는 경우 검색 할 수 있습니다)

이 구문 적 구조가 고차 또는 가변 차수 논리에 어떤 영향을 줄지 모르겠습니다. 제 요점은 계량자가없는 부분을 단독으로 억제하는 것이 유용하지 않기 때문에 정량자를 억제하는 좋은 방법을 생각해야한다는 것입니다 ( 적어도 크롬 공식의 경우)

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