정의 . 주어진 유한 세트 경우, 설정된 함수 f : 2 A → R 은 X , Y ⊆ A에 대해 하위 모듈 식 입니다.
f ( X ) +ㅏ

$A$

$A$에프: 2ㅏ→ R

$f:2^A\to \mathbb{R}$

$f:2^A \rightarrow \mathbb{R}$엑스, Y⊆ A

$X,Y\subseteq A$

$X, Y \subseteq A$

$$f(X) + f(Y) \geq f(X \cup Y) + f(X \cap Y).$$

Lemma 양의 간선 가중치를
갖는 이분 그래프 가 주어지면 f : 2 A → R +를 S ⊆ A 를 G 의 최대 중량 일치 값에 매핑하는 함수로 설정합니다 [ S ∪ B ] . 그런 다음 f 는 하위 모듈입니다.G = ( A ∪ B , E)

$G=(A\cup B,E)$

$G = (A \cup B, E)$에프: 2ㅏ→ R+

$f:2^A\to {\mathbb{R}}^{+}$

$f: 2^A \rightarrow \mathbb{R}^+$에스⊆ A

$S\subseteq A$

$S\subseteq A$G [ S∪ B ]

$G[S\cup B]$

$G[S \cup B]$에프

$f$

$f$

증명.
두 세트 수정 하고 M ∩ 및 M ∪을 그래프 G [ ( X ∩ Y ) ∪ B ] 및 G [ ( X ∪ Y ) ∪ B ]에 대해 두 개의 일치로 설정하십시오 . 보조 정리를 증명하기가의 가장자리를 분할 할 수 있음을 보여주기에 충분하다 M ∩ 및 M을 ∪ 두 개의 분리 된의 matchings에 M X 와 M Y엑스, Y⊆ A

$X,Y\subseteq A$

$X, Y \subseteq A$미디엄∩

$M_{\cap }$

$M_\cap$미디엄∪

$M_{\cup }$

$M_\cup$G [ ( X∩ Y) ∪ B ]

$G[(X\cap Y)\cup B]$

$G[(X\cap Y) \cup B]$G[(X∪Y)∪B]

$G[(X\cup Y)\cup B]$

$G[(X \cup Y) \cup B]$M∩

$M_{\cap }$

$M_\cap$M∪

$M_{\cup }$

$M_\cup$MX

$M_X$

$M_X$MY

$M_Y$

$M_Y$그래프 및 G [ Y ∪ B ] 각각에 대해.G[X∪B]

$G[X\cup B]$

$G[X\cup B]$G[Y∪B]

$G[Y\cup B]$

$G[Y\cup B]$

가장자리 및 M은 ∪ 교호 경로와 사이클의 컬렉션을 형성한다. 하자 C는 이 컬렉션을 표시하고 전혀주기를 관찰 C가 에서 정점을 포함하지 않는 X ∖ Y 또는 Y ∖ X를 . 이것은 M ∩ 이 그 정점과 일치하지 않기 때문에 유지 됩니다.M∩

$M_{\cap }$

$M_\cap$M∪

$M_{\cup }$

$M_\cup$C

$\mathcal{C}$

$\mathcal{C}$C

$\mathcal{C}$

$\mathcal{C}$X∖Y

$X\setminus Y$

$X\setminus Y$Y∖X

$Y\setminus X$

$Y\setminus X$M∩

$M_{\cap }$

$M_\cap$

하자 있는 경로들의 집합 C 에 적어도 하나 개의 꼭지점 X ∖ YPX

${\mathcal{P}}_X$

$\mathcal{P}_X$C

$\mathcal{C}$

$\mathcal{C}$X∖Y

$X\setminus Y$

$X \setminus Y$ 및하자 있는 경로들의 집합 C 에 적어도 하나 개의 꼭지점과 Y ∖ X . 이러한 두 가지 경로가 아래 그림에 나와 있습니다.PY

${\mathcal{P}}_Y$

$\mathcal{P}_Y$C

$\mathcal{C}$

$\mathcal{C}$Y∖X

$Y\setminus X$

$Y \setminus X$

청구 1.
. PX∩PY=∅

${\mathcal{P}}_X\cap {\mathcal{P}}_Y=\mathrm{\varnothing }$

$\mathcal{P}_X \cap \mathcal{P}_Y = \emptyset$

경로가 존재한다고 가정 모순 . 하자 x는 의 정점이 될 X ∖ Y 경로에 P 유사하게 y는 의 정점이 될 Y ∖ X 경로에 P . 그 때문에도 관찰 X 나 Y , Y가 에 , 경로 P는 처음이나 마지막 에지에 속하거나, 심지어 길이를 가지고 있으며 교대로하기 때문에P∈PX∩PY

$P\in {\mathcal{P}}_X\cap {\mathcal{P}}_Y$

$P \in \mathcal{P}_X \cap \mathcal{P}_Y$x

$x$

$x$X∖Y

$X\setminus Y$

$X\setminus Y$P

$P$

$P$y

$y$

$y$Y∖X

$Y\setminus X$

$Y \setminus X$P

$P$

$P$x

$x$

$x$y

$y$

$y$ 에 속한다 가 일치 속하지 않는 M ∩ 정의하여, 따라서 이들은 경로의 끝점이다 P는 . 또한, x 와X∩Y

$X\cap Y$

$X \cap Y$M∩

$M_{\cap }$

$M_\cap$P

$P$

$P$x

$x$

$x$y

$y$

$y$A

$A$

$A$P

$P$

$P$ . 따라서 M ∩ 는 x 또는 y 와 일치하여 정의와 모순되고 주장을 증명합니다.M∩

$M_{\cap }$

$M_\cap$M∩

$M_{\cap }$

$M_\cap$x

$x$

$x$y

$y$

$y$

하자

및
M Y = ( P X ∩ M ∩ ) ∪ ( ( C ∖ P X ) ∩ M ∪ ) . 그리고 M X ∩ M Y = M ∩ ∩ M ∪

$$M_X = (\mathcal{P}_X \cap M_\cup) \cup ( (\mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X) \cap M_\cap)$$

$$M_Y = (\mathcal{P}_X \cap M_\cap) \cup ( (\mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X) \cap M_\cup).$$
그것은 분명 그 MX∪MY=M∩∪M∪

$M_X\cup M_Y=M_{\cap }\cup M_{\cup }$

$M_X \cup M_Y = M_\cap\cup M_\cup$MX∩MY=M∩∩M∪

$M_X\cap M_Y=M_{\cap }\cap M_{\cup }$

$M_X \cap M_Y = M_\cap \cap M_\cup$. 정리를 증명하기 위해, 및 M Y 가 각각 G [ X ∪ B ] 및 G [ Y ∪ B ]에 대해 유효한 일치 임을 보여줍니다 . 있는지 M X X를 보낸 P X가 교차하지 Y ∖ X 제 1 및 M ∩ 교차하지 Y ∖ X 정의. 따라서 M X 는 X ∪ B의 꼭짓점 만 사용합니다.MX

$M_X$

$M_X$MY

$M_Y$

$M_Y$G[X∪B]

$G[X\cup B]$

$G[X\cup B]$G[Y∪B]

$G[Y\cup B]$

$G[Y\cup B]$MX

$M_X$

$M_X$ 위한 유효한 matchings 인 어떠한 버텍스 있다는 것을 처음 관찰 Y ∖ X가 일치되지 MG[X∪B]

$G[X\cup B]$

$G[X\cup B]$Y∖X

$Y\setminus X$

$Y \setminus X$MX

$M_X$

$M_X$PX

${\mathcal{P}}_X$

$\mathcal{P}_X$Y∖X

$Y\setminus X$

$Y \setminus X$M∩

$M_{\cap }$

$M_\cap$Y∖X

$Y\setminus X$

$Y \setminus X$MX

$M_X$

$M_X$X∪B

$X\cup B$

$X \cup B$. 둘째, 모든 정점 는 M X 의 최대 한 모서리와 일치 한다는 점을 관찰하십시오. 그렇지 않으면 G [ X ∪ B ]에 대한 유효한 일치입니다 . 그것을 보여주는x∈X

$x\in X$

$x\in X$MX

$M_X$

$M_X$ 하나의 두 에지들에 속하는 M ∪ 또는 두 에지 M ∩ 정의 모순. 이것은 M Xx

$x$

$x$M∪

$M_{\cup }$

$M_\cup$M∩

$M_{\cap }$

$M_\cap$MX

$M_X$

$M_X$G[X∪B]

$G[X\cup B]$

$G[X\cup B]$ 가 G [ Y ∪ B ]에 대한 유효한 일치.MY

$M_Y$

$M_Y$G[Y∪B]

$G[Y\cup B]$

$G[Y\cup B]$

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