통계 학자로서 가장 큰 질문 중 하나는 가능성 원칙을 믿거 나 고수할지 여부를 스스로에게 물어봐야한다고 생각합니다. 만약 당신이 우도 원리를 믿지 않는다면 통계에 대한 빈번한 패러다임은 매우 강력 할 수 있다고 생각합니다. 그러나 우도 원리를 믿으면 베이지안 패러다임을 위반하지 않습니다.

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익숙하지 않은 경우 가능성 원칙에 따라 다음과 같이 알려줍니다.

θ

$\theta$

$\theta$x

$\mathbf{x}$

$\mathbf{x}$

$$\ell(\theta;\mathbf{x})=p(\mathbf{x}|\theta)$$ x

$\mathbf{x}$

$\mathbf{x}$

x

$\mathbf{x}$

$\mathbf{x}$y

$\mathbf{y}$

$\mathbf{y}$ℓ(θ;x)

$\ell (\theta ;\mathbf{x})$

$\ell(\theta;\mathbf{x})$ℓ(θ;y)

$\ell (\theta ;\mathbf{y})$

$\ell(\theta;\mathbf{y})$C(x,y)

$C(\mathbf{x},\mathbf{y})$

$C(\mathbf{x},\mathbf{y})$

$$\ell(\theta;\mathbf{x})=C(\mathbf{x},\mathbf{y})\ell(\theta;\mathbf{y})\hspace{.1in}\text{for all }\theta,$$

x

$\mathbf{x}$

$\mathbf{x}$y

$\mathbf{y}$

$\mathbf{y}$

C(x,y)

$C(\mathbf{x},\mathbf{y})$

$C(\mathbf{x},\mathbf{y})$(x,y)

$(\mathbf{x},\mathbf{y})$

$(\mathbf{x},\mathbf{y})$C(x,y)

$C(\mathbf{x},\mathbf{y})$

$C(\mathbf{x},\mathbf{y})$θ

$\theta$

$\theta$

C(x,y)=1

$C(\mathbf{x},\mathbf{y})=1$

$C(\mathbf{x},\mathbf{y})=1$θ

$\theta$

$\theta$θ

$\theta$

$\theta$

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이제 베이지안 통계의 장점 중 하나는 적절한 사전에 베이지안 패러다임이 우도 원칙을 위반하지 않는다는 것입니다. 그러나 빈번주의 패러다임이 가능성 원칙을 위반하는 매우 간단한 시나리오가 있습니다.

다음은 가설 검정에 기반한 매우 간단한 예입니다. 다음을 고려하세요:

12 개의 베르누이 (Beroulli) 시험이 실시되었고 3 회의 성공이 관찰 된 실험을 고려하십시오. 중지 규칙에 따라 데이터를 다음과 같이 특성화 할 수 있습니다.

• X|θ∼Bin(n=12,θ)
  $X|\theta \sim \text{Bin}(n=12,\theta )$

  $X|\theta\sim\text{Bin}(n=12,\theta)$x=3

  $x=3$

  $x=3$

• Y|θ∼NegBin(k=3,θ)
  $Y|\theta \sim \text{NegBin}(k=3,\theta )$

  $Y|\theta\sim\text{NegBin}(k=3,\theta)$y=12

  $y=12$

  $y=12$

따라서 다음과 같은 우도 함수를 얻을 수 있습니다.

이는

, 따라서 우도 원리에 의해, 우리는 우도에서 동일한 에 대한 추론을 얻어야합니다 .

$$\begin{align} \ell_1(\theta;x=3)&=\binom{12}{3}\theta^3(1-\theta)^9\\ \ell_2(\theta;y=12)&=\binom{11}{2}\theta^3(1-\theta)^9\\ \end{align}$$

$$\ell_1(\theta;x)=C(x,y)\ell_2(\theta,y)$$ θ

$\theta$

$\theta$

이제 빈번주의 패러다임

$$H_o:\theta\geq\frac{1}{2}\hspace{.2in}\text{versus}\hspace{.2in}H_a:\theta<\frac{1}{2}$$

이항 모델의 경우 다음이 있습니다.

$$\begin{align} \text{p-value}&=P\left(X\leq 3|\theta=\frac{1}{2}\right)\\ &=\binom{12}{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{12}+\binom{12}{1} \left(\frac{1}{2}\right)^{12}+ \binom{12}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{12}+\binom{12}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{12}=0.0723 \end{align}$$

알 그러나 다른 조건 할 가능성 원칙을 만족시키지 않습니다.(123)(12)12=ℓ1(12;x=3)

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{3}){\left(\frac{1}{2}\right)}^{12}={\ell }_1(\frac{1}{2};x=3)$

$\binom{12}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{12}=\ell_1(\frac{1}{2};x=3)$

음 이항 모델의 경우 다음과 같습니다.

$$\begin{align} \text{p-value}&=P\left(Y\geq 12|\theta\frac{1}{2}\right)\\ &=\binom{11}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{12}+\binom{12}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{12}+ \binom{13}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{12}+...=0.0375 \end{align}$$

위의 p- 값 계산에서 이항 모형에서는 를 기각 못하지만 음수 이항 모형을 사용하면 기각 . 따라서 p- 값과 이러한 p- 값에 따른 결정이 와 일치하더라도 일치하지 않습니다. 이 p- 값 인수는 베이지 안에서 Frequentist p- 값 사용에 대해 자주 사용하는 것입니다.Ho

$H_o$

$H_o$Ho

$H_o$

$H_o$ℓ1(θ;x)∝ℓ2(θ;y)

${\ell }_1(\theta ;x)\propto {\ell }_2(\theta ;y)$

$\ell_1(\theta;x)\propto\ell_2(\theta;y)$

이제 다음 가설을 다시 테스트하는 것이 그러나 베이지안 패러다임

$$H_o:\theta\geq\frac{1}{2}\hspace{.2in}\text{versus}\hspace{.2in}H_a:\theta<\frac{1}{2}$$

이항 모델의 경우 다음이 있습니다.

$$\begin{align} P\left(\theta\geq\frac{1}{2}|x\right)=\int_{1/2}^1\pi(\theta|x)dx=\int_{1/2}^1\theta^3(1-\theta)^9\pi(\theta)d\theta \bigg/\int_{0}^1\theta^3(1-\theta)^9\pi(\theta)d\theta \end{align}$$

마찬가지로, 이항 이항 모형의 경우 다음이 있습니다.

$$\begin{align} P\left(\theta\geq\frac{1}{2}|y\right)=\int_{1/2}^1\pi(\theta|x)dx=\int_{1/2}^1\theta^3(1-\theta)^9\pi(\theta)d\theta \bigg/\int_{0}^1\theta^3(1-\theta)^9\pi(\theta)d\theta \end{align}$$

이제 베이지안 결정 규칙을 사용하여 (또는 다른 임계 값) 인 경우 선택 하고 대해 유사하게 반복하십시오 .Ho

$H_o$

$H_o$ 년P(θ≥12|x)>12

$P(\theta \ge \frac{1}{2}|x)>\frac{1}{2}$

$P(\theta\geq\frac{1}{2}|x)>\frac{1}{2}$y

$y$

$y$

그러나 그래서 우리는 동일한 결론과 따라서이 접근법은 가능성 원칙을 만족시킨다.P(θ≥12|x)=P(θ≥12|y)

$P(\theta \ge \frac{1}{2}|x)=P(\theta \ge \frac{1}{2}|y)$

$P\left(\theta\geq\frac{1}{2}|x\right)=P\left(\theta\geq\frac{1}{2}|y\right)$

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그리고 결론을 내릴 수 있도록, 만약 당신이 가능성 원칙에 관심이 없다면, 자주주의하는 것이 좋습니다! (당신이 말할 수 없다면, 나는 베이지안입니다 :))

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