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의 pdf를 찾아야하는이 문제가 $Y = X^{2}$

Y=X2

있습니다. 내가 아는 것은 $X$

는 분포 $N (0, 1)$

N(0,1)

입니다. 는 어떤 종류의 분포 $Y = X^{2}$

Y=X2

입니까? 와 동일 $X$

합니까? pdf는 어떻게 찾습니까?

답변

확률 이론 및 통계의 가장 유명한 결과 중 하나를 발견했습니다. 이 사이트에서이 질문을하기 전에 질문에 대한 답변을 드리겠습니다.

우선, 노트의 PDF 것을 $Y = X^{2}$

Y=X2

와 동일 할 수 없다 $X$

로서 $Y$

음수가 될 것이다. $Y$

의 분포를 도출하기 위해 mgf 기법, cdf 기법 및 밀도 변환 기법의 세 가지 방법을 사용할 수 있습니다. 의 시작하자.

순간 생성 기능 기술 .

또는 원하는 기능 기술. $Y = X^{2}$

Y=X2

의 mgf를 찾아야합니다 . 따라서 기대치를 계산해야합니다

E [e t X 2]

무의식 통계학 자의 법칙을 사용하여 $X$

분포에 대한이 적분을 계산하기 만하면 됩니다. 따라서 우리는 계산해야합니다

E [e t X 2] = \int \infty - \infty 1 2 π - - \sqrt e t x 2 e - x 2 2 d x = \int \infty - \infty 1 2 π - - \sqrt exp {- x 2 2 (1 - 2 t)} d t = \int \infty - \infty ( 1 - 2 t ) 1 / 2 ( 1 - 2 t ) 1 / 2 1 2 π - - \sqrt exp {- x 2 2 (1 - 2 t)} d t = (1 - 2 t) - 1 / 2, t < 1 2

마지막 줄에서 우리는 적분과 평균 0을 갖는 가우스 적분과 적분을 비교했습니다 $\frac{1}{(1 - 2 t)}$

1(1−2t)

. 물론 이것은 실제 라인을 통해 하나로 통합됩니다. 이제 그 결과로 무엇을 할 수 있습니까? 글쎄, 당신은 매우 복잡한 역변환을 적용하고이 MGF에 해당하는 pdf를 결정하거나 단순히 자유도를 가진 카이 제곱 분포의 MGF로 인식 할 수 있습니다. (카이 제곱 분포는감마 분포의 특수한 경우입니다. $α = \frac{r}{2}$

α=r2

, $r$

자유도 인, 및 $β = 2$

β=2

CDF 기술

이것은 아마도 당신이 할 수있는 가장 쉬운 일이며 Glen_b가 의견에서 제안합니다. 이 기술에 따르면, 우리는 계산

F Y (y) = P (Y \leq y) = P (X 2 \leq y) = P (| X | \leq y \sqrt)

$y$

F Y (y) = P (| X | \leq y \sqrt) = P (- y \sqrt < X < y \sqrt) = Φ (y \sqrt) - Φ (- y \sqrt)

$Φ (.)$

Φ(.)

$y$

f Y (y) = F' Y (y) = 1 2 y \sqrt ϕ (y \sqrt) + 1 2 y \sqrt ϕ (- y \sqrt) = 1 y \sqrt ϕ (y \sqrt)

$ϕ (.)$

ϕ(.)

f Y (y) = 1 y \sqrt 1 2 π - - \sqrt e - y 2, 0 < y < \infty

자유도가 1 인 카이 제곱 분포의 pdf로 인식합니다 (지금까지 패턴이 표시 될 수 있음).

밀도 변환 기술

$Y = g (X)$

Y=g(X)

$Y$

f Y (y) = ∣ ∣ ∣ d d y g - 1 (y) ∣ ∣ ∣ f X (g - 1 (y))

$y$

$g$

$X$

$Y$

$g$

$X$

$Y = g (X)$

Y=g(X)

$g$

$Y$

f Y (y) = \sum ∣ ∣ ∣ d d y g - 1 (y) ∣ ∣ ∣ f X (g - 1 (y))

여기서 합은 모든 역함수에 적용됩니다. 이 예는 그것을 분명히 할 것입니다.

$y = x^{2}$

y=x2

$x = \pm \sqrt{y}$

x=±y

$\frac{1}{2 \sqrt{y}}$

12y

f Y (y) = 1 2 y \sqrt 1 2 π - - \sqrt e - y / 2 + 1 2 y \sqrt 1 2 π - - \sqrt e - y / 2 = 1 y \sqrt 1 2 π - - \sqrt e - y / 2, 0 < y < \infty

자유도가 1 인 카이 제곱 분포의 pdf입니다. 참고로,이 기법은 더 이상 변환의 CDF를 파생시킬 필요가 없기 때문에 특히 유용합니다. 물론 이것은 개인적인 취향입니다.

따라서 표준 정규 확률 변수의 제곱이 자유도 1의 카이 제곱 분포를 따르는 지 확인하여 오늘 밤 잠자리에들 수 있습니다.

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