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상관 관계가 없지만 선형 적으로 종속적 인 변수 세트 없지만 선형 적으로

관련이 없지만 선형 적으로 종속적 인 변수 세트를 가질 수 있습니까?

K


\ sum_ {i = 1} ^ K a_ix_i = 0

cor(xi,xj)=0

∑i=1Kaixi=0

그렇다면 예를 작성할 수 있습니까?

편집 : 대답에서 그것은 불가능하다는 것을 따릅니다.

적어도

P(|ρ^xi,xj−ρ^xi,v|<ϵ)

있습니까? 여기서

ρ^

는 추정 된 상관 계수입니다. 변수의

n

샘플과

v

x_i 와 상관없는 변수입니다

xi

.

x_K = \ dfrac {1} {K} \ sum_ {i = 1} ^ {K-1} x_i K >> 0 과 같은 것을 생각하고 있습니다.

xK=1K∑i=1K−1xi

K>>0



답변

@ RUser4512의 답변에서 알 수 있듯이 상관되지 않은 임의의 변수는 선형으로 종속 될 수 없습니다. 그러나 거의 상관 관계가없는 임의 변수 선형 적으로 종속적 일 있으며, 이러한 예 중 하나는 통계 전문가의 마음에 달려 있습니다.

가 공통 평균 인 상관되지 않은 단위 분산 랜덤 변수 의 집합 이라고 가정합니다 . 정의하십시오.
여기서 입니다. 그런 다음 는 0- 평균 랜덤 변수이므로
. 즉, 선형으로 종속됩니다. 이제
이므로

,

나타내는 것을

{Xi}i=1K

K

μ

Yi=Xi−X¯

X¯=1K∑i=1KXi

Yi

∑i=1KYi=0

Yi=K−1KXi−1K∑j≠iXj

var⁡(Yi)=(K−1K)2+K−1K2=K−1K

cov⁡(Yi,Yj)=−2(K−1K)1K+K−2K2=−1K

Yi

는 상관 계수 과 거의 상관이없는 랜덤 변수입니다 .

−1K−1

이 초기 답변
을 참조하십시오 .


답변

아니.

중 하나가 0이 아닌 것으로 가정하십시오 . 일반성을 잃지 않으면 서 이라고 가정하자 .

ai

a1=1

들면 , 이것이 의미 및 . 그러나이 상관 관계는 0입니다. 선형 관계의 존재와 모순되어야합니다.

K=2

x1=−a2x2

cor(x1,x2)=−1

a1

임의 들어 , 및 . 그러나 가설에 따르면 입니다. (위한 집은 제로인 ) 등이 있어야 .

K

x1=−∑i>1aixi

cor(x1,xk)=−1

cor(x1,xk)=0

ai

i>1

a1

답변

이것은 약간의 부정 행위 일 수 있지만 'uncorrelated'를 공분산 이 0 인 것으로 정의 하면 대답은 yes 입니다. 하자 와 모두 그런 확률 1. 제로가

X

Y

Cov⁡(X,Y)=E⁡(XY)−E⁡(X)E⁡(Y)=0−0=0

반면 되도록, 및 (사용자의 정의에 의해) 선형 적으로 의존한다.

X+Y=0

X

Y

상관 관계 가 정의되어 있어야합니다. 즉, 와 의 분산이 모두 양수이면 기준을 충족하는 변수를 찾을 수 없습니다 (다른 답변 참조).

X

Y


답변