상관 관계가 없지만 선형 적으로 종속적 인 변수 세트 없지만 선형 적으로

관련이 없지만 선형 적으로 종속적 인 변수 세트를 가질 수 있습니까? $K$

즉
및 $c o r (x_{i}, x_{j}) = 0$

cor(xi,xj)=0

$\sum_{i = 1}^{K} a_{i} x_{i} = 0$

∑i=1Kaixi=0

그렇다면 예를 작성할 수 있습니까?

편집 : 대답에서 그것은 불가능하다는 것을 따릅니다.

적어도 $P (| {\hat{ρ}}_{x_{i}, x_{j}} - {\hat{ρ}}_{x_{i}, v} | < ϵ)$

P(|ρ^xi,xj−ρ^xi,v|<ϵ)

있습니까? 여기서 $\hat{ρ}$

ρ^

는 추정 된 상관 계수입니다. 변수의 $n$

샘플과 $v$

는 와 상관없는 변수입니다 $x_{i}$

과 같은 것을 생각하고 있습니다. $x_{K} = \frac{1}{K} \sum_{i = 1}^{K - 1} x_{i}$

xK=1K∑i=1K−1xi

$K >> 0$

K>>0

답변

@ RUser4512의 답변에서 알 수 있듯이 상관되지 않은 임의의 변수는 선형으로 종속 될 수 없습니다. 그러나 거의 상관 관계가없는 임의 변수 는 선형 적으로 종속적 일 수 있으며, 이러한 예 중 하나는 통계 전문가의 마음에 달려 있습니다.

가 공통 평균 인 상관되지 않은 단위 분산 랜덤 변수 의 집합 이라고 가정합니다 . 정의하십시오.
여기서 입니다. 그런 다음 는 0- 평균 랜덤 변수이므로
. 즉, 선형으로 종속됩니다. 이제
이므로

나타내는 것을 ${X_{i}}_{i = 1}^{K}$

{Xi}i=1K

$K$

$μ$

$Y_{i} = X_{i} - \bar{X}$

Yi=Xi−X¯

$\bar{X} = \frac{1}{K} \sum_{i = 1}^{K} X_{i}$

X¯=1K∑i=1KXi

$Y_{i}$

$\sum_{i = 1}^{K} Y_{i} = 0$

∑i=1KYi=0

Y i = K - 1 K X i - 1 K \sum j \neq i X j

var (Y i) = (K - 1 K) 2 + K - 1 K 2 = K - 1 K

cov (Y i, Y j) = - 2 (K - 1 K) 1 K + K - 2 K 2 = - 1 K

$Y_{i}$

는 상관 계수 과 거의 상관이없는 랜덤 변수입니다 . $- \frac{1}{K - 1}$

−1K−1

이 초기 답변
을 참조하십시오 .

답변

아니.

중 하나가 0이 아닌 것으로 가정하십시오 . 일반성을 잃지 않으면 서 이라고 가정하자 . $a_{i}$

$a_{1} = 1$

a1=1

들면 , 이것이 의미 및 . 그러나이 상관 관계는 0입니다. 선형 관계의 존재와 모순되어야합니다. $K = 2$

K=2

$x_{1} = - a_{2} x_{2}$

x1=−a2x2

$c o r (x_{1}, x_{2}) = - 1$

cor(x1,x2)=−1

$a_{1}$

임의 들어 , 및 . 그러나 가설에 따르면 입니다. (위한 집은 제로인 ) 등이 있어야 . $K$

$x_{1} = - \sum_{i > 1} a_{i} x_{i}$

x1=−∑i>1aixi

$c o r (x_{1}, x_{k}) = - 1$

cor(x1,xk)=−1

$c o r (x_{1}, x_{k}) = 0$

cor(x1,xk)=0

$a_{i}$

$i > 1$

i>1

$a_{1}$

답변

이것은 약간의 부정 행위 일 수 있지만 'uncorrelated'를 공분산 이 0 인 것으로 정의 하면 대답은 yes 입니다. 하자 와 모두 그런 확률 1. 제로가 $X$

$Y$

$C o v (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y) = 0 - 0 = 0$

Cov⁡(X,Y)=E⁡(XY)−E⁡(X)E⁡(Y)=0−0=0

반면 되도록, 및 (사용자의 정의에 의해) 선형 적으로 의존한다. $X + Y = 0$

X+Y=0

$X$

$Y$

상관 관계 가 정의되어 있어야합니다. 즉, 와 의 분산이 모두 양수이면 기준을 충족하는 변수를 찾을 수 없습니다 (다른 답변 참조). $X$

$Y$

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