최대 우도 추정을 공부하는 동안 최대 우도 추정을 추론하려면 분산을 알아야합니다. 분산을 찾으려면 Cramer의 Rao Lower Bound를 알아야합니다.이 곡선은 곡률에 두 번째 편차가있는 Hessian Matrix와 같습니다. 공분산 행렬과 헤 시안 행렬 간의 관계를 정의하기 위해 혼합되어 있습니다. 질문에 대한 설명을들을 수 있기를 바랍니다. 간단한 예가 이해 될 것이다.
답변
먼저 Fisher Information 매트릭스와 Hessian 및 표준 오류와의 관계에 대한 이 기본 질문을 확인해야 합니다.
통계 모델 (분포 계열) 가 있다고 가정 합니다. 가장 일반적인 경우에 가 패밀리는 로 매개 변수화됩니다 . 특정 규칙 조건 하에서
{fθ:θ∈Θ}dim(Θ)=d
θ=(θ1,…,θd)T
여기서 는 Fisher Information 매트릭스 ( 함수 )이고 는 관측 값 (샘플)입니다.
Ii,jθ
X
따라서 Fisher Information 매트릭스는 일부 에서 로그 확률에 대한 Hesian의 부정 된 예상 값입니다.
θ
이제 알려지지 않은 매개 변수 의 벡터 함수를 추정한다고 가정 해 봅시다 . 일반적으로 추정기 는 편향되지 않아야합니다.
ψ(θ)T(X)=(T1(X),…,Td(X))
Cramer Rao Lower Bound는 모든 편향되지 않은 대해 만족 한다고 말합니다.
T(X)covθ(T(X))
여기서 행렬 수단은 인 포지티브 세미 확정적 , 단순히 코비안이고 . 참고로, 우리가 예상되는 경우에 이라고 단순화 위
A≥BA−B
∂ψ(θ)∂θ
Ji,j(ψ)
θ
ψ(θ)=θ
그러나 그것은 우리에게 실제로 무엇을 말합니까? 예를 들어
모든 양의 반 정규 행렬에 대각선 요소는 음이 아닙니다.
A
위에서 우리는 각 추정 된 요소의 분산이 행렬 의 대각선 요소에 의해 구속된다는 결론을 내릴 수 있습니다.
B(θ)
따라서 CRLB는 추정기의 분산을 알려주지 않지만 추정기가 최적 인지 여부에 상관없이 최적 입니다.