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중심 한계 정리는 이 무한대로 갈 때 iid 변수의 평균 이 정규 분포를 따릅니다. $N$

이것은 두 가지 질문을 제기합니다.

우리는 이것을 많은 수의 법칙으로 추론 할 수 있습니까? 많은 수의 법칙은 확률 변수의 값의 샘플의 평균은 실제 평균에 해당된다는 말한다면 으로 무한대 다음이 값이되고 있음 (중심 극한 말한대로) 그 말을 더 강해 보인다 여기서 는 표준 편차입니다. 그러면 중앙 제한이 많은 법칙을 암시한다고 말하는 것이 공정합니까? $μ$ $N$ $N (μ, σ)$ $σ$
중심 한계 정리가 변수의 선형 조합에 적용됩니까?

답변

OP는 말합니다

중심 한계 정리는 N이 무한대로 갈 때 iid 변수의 평균이 정규 분포를 따릅니다.

I 그것이 OP 믿음임을 의미이 걸릴 것이다 IID 랜덤 변수 평균이 및 표준 편차 누적 분포 함수 의

는 의 누적 분포 함수 , 즉 평균 및 표준 편차 정규 랜덤 변수 수렴됩니다 . 또는 OP는이 공식의 사소한 재배치, 예를 들어 분포가 분포 또는 분포로 수렴한다고 생각합니다. $X_{i}$

$μ$

$σ$

$F_{Z_{n}} (a)$

FZn(a)

지 엔 = 1 엔 \sum 나는 = 1 엔 엑스 나는

$N (μ, σ)$

N(μ,σ)

$μ$

$σ$

$Z_{n} - μ$

Zn−μ

$N (0, σ)$

N(0,σ)

$(Z_{n} - μ) / σ$

(Zn−μ)/σ

표준 정규 랜덤 변수 의 분포로 수렴 합니다. 이 문장들이

으로서 . $N (0, 1)$

N(0,1)

피 {| 지 엔 - μ | > σ} = 1 - F 지 엔 (μ + σ) + F 지 엔 ((μ + σ) -) \to 1 - Φ (1) + Φ (- 1) \approx 0.32

$n \to \infty$

n→∞

OP는 계속해서 말합니다

이것은 두 가지 질문을 제기합니다.

우리는 이것을 많은 수의 법칙으로 추론 할 수 있습니까? 큰 수의 법칙에 따라 임의의 변수 값 샘플의 평균이 N이 무한대로 갈 때 실제 평균 μ와 같다고 말하는 경우 (중앙 한계에서 알 수 있듯이) 값이 N ( μ, σ) 여기서 σ는 표준 편차입니다.

많은 수의 약한 법은 말한다 IID 확률 변수에 대한
유한 평균이 주어진, ,

표준 편차가 유한하다고 가정 할 필요는 없습니다. $X_{i}$

$μ$

$ϵ > 0$

ϵ>0

피 {| 지 엔 - μ | > ε} \to 0 으로서 N \to \infty .

OP의 질문에 대답하기 위해

OP에 명시된 중앙 제한 정리
는 많은 수의 약한 법칙을 암시하지 않습니다 . 로 , 정리가 말한다 중심 극한의 OP의 버전
약한 법이 있다고하면서 $n \to \infty$
n→∞
$P {| Z_{n} - μ | > σ} \to 0.317 \dots$
P{|Zn−μ|>σ}→0.317⋯
$P {| Z_{n} - μ | > σ} \to 0$
P{|Zn−μ|>σ}→0
중심 한계 정리 의 정확한 진술로부터, 유한 평균 및 표준 편차를 갖는 랜덤 변수에 적용되는 많은 수의 약한 법칙의 제한된 형태만을 최상으로 추론 할 수있다. 그러나 많은 수의 약한 법칙은 유한 수단이지만 무한 표준 편차를 갖는 파레토 랜덤 변수와 같은 랜덤 변수에도 적용됩니다.
표본 평균 이 0이 아닌 표준 편차 로 정규 랜덤 변수에 수렴한다고 말하는 것이 표본 평균이 모집단 평균에 수렴한다고 말하는 것보다 더 강한 진술인 이유를 이해하지 못합니다 (또는 표준 편차 가 0 인 임의 변수) 너는 좋아한다).

답변

큰 수의 법칙의 경우, 모든 확률을 동일한 확률 공간에 정의해야합니다 (대수의 법칙은 모든 대해 의해 결정된 이벤트 확률에 대한 설명 이므로 ). 분포의 수렴의 경우 확률 확률이 서로 다를 수 있으며 증거의 여러 측면을 단순화합니다 (예 : 중첩 공간 증가, 다양한 삼각 배열 증명에 매우 일반적). 그러나 그것은 또한 과 의 공동 분포에 관한 진술을 할 수 없다는 것을 의미합니다 . 따라서 모든 변수에 대해 공통 확률 공간이 없다면 분포의 수렴이 많은 수의 법칙을 의미하지는 않습니다. ${\bar{X}}_{n}$

X¯n

$n$

${\bar{X}}_{n}$

X¯n

${\bar{X}}_{n + 1}$

X¯n+1

답변

$\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - E X)$

n(X¯n−EX)

$N (0, V a r (X))$

N(0,Var(X))

$\bar{X}$

X¯

$n$

$X$

$Y$

n - - \sqrt (1 n \sum j = 1 n (a X j + Y j) - E (a X + Y)) \to N (0, V a r (a X + Y))

n - - \sqrt a (X ¯ n - E X) + n - - \sqrt (Y ¯ n - E Y) \to N (0, a 2 V a r (X) + V a r (Y)) .

다시 말해, 랜덤 변수의 선형 조합은 CLT 하에서 하나의 법선 인 법선의 선형 조합으로 수렴되지 않습니다. 임의 변수의 선형 조합은 CLT를 직접 적용 할 수있는 다른 임의 변수 일 뿐이므로 이치에 맞습니다.

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중앙 한계 정리 대 다수의 법칙 값이되고 있음 (중심 극한 말한대로)

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