중앙 한계 정리 대 다수의 법칙 값이되고 있음 (중심 극한 말한대로)

중심 한계 정리는 이 무한대로 갈 때 iid 변수의 평균 이 정규 분포를 따릅니다.

N

이것은 두 가지 질문을 제기합니다.

  1. 우리는 이것을 많은 수의 법칙으로 추론 할 수 있습니까? 많은 수의 법칙은 확률 변수의 값의 샘플의 평균은 실제 평균에 해당된다는 말한다면 으로 무한대 다음이 값이되고 있음 (중심 극한 말한대로) 그 말을 더 강해 보인다 여기서 \ sigma 는 표준 편차입니다. 그러면 중앙 제한이 많은 법칙을 암시한다고 말하는 것이 공정합니까?N N ( μ , σ ) σ
    μ

    N

    N(μ,σ)

    σ

  2. 중심 한계 정리가 변수의 선형 조합에 적용됩니까?


답변

OP는 말합니다

중심 한계 정리는 N이 무한대로 갈 때 iid 변수의 평균이 정규 분포를 따릅니다.

I 그것이 OP 믿음임을 의미이 걸릴 것이다 IID 랜덤 변수 평균이 및 표준 편차 누적 분포 함수 의

는 의 누적 분포 함수 , 즉 평균 및 표준 편차 정규 랜덤 변수 수렴됩니다 . 또는 OP는이 공식의 사소한 재배치, 예를 들어 분포가 분포 또는 분포로 수렴한다고 생각합니다. μ σ F Z n ( a ) Z n = 1

Xi

μ

σ

FZn(a)

N(μ,σ)μσZnμN(0,σ)(Znμ)/σN(0,1)P{| ZNμ| >σ}=1FZn(μ+σ

Zn=1n∑i=1nXi

N(μ,σ)

μ

σ

Zn−μ

N(0,σ)

(Zn−μ)/σ

표준 정규 랜덤 변수 의 분포로 수렴 합니다. 이 문장들이

으로서 .

N(0,1)

n

P{|Zn−μ|>σ}=1−FZn(μ+σ)+FZn((μ+σ)−)→1−Φ(1)+Φ(−1)≈0.32

n→∞

OP는 계속해서 말합니다

이것은 두 가지 질문을 제기합니다.

  1. 우리는 이것을 많은 수의 법칙으로 추론 할 수 있습니까? 큰 수의 법칙에 따라 임의의 변수 값 샘플의 평균이 N이 무한대로 갈 때 실제 평균 μ와 같다고 말하는 경우 (중앙 한계에서 알 수 있듯이) 값이 N ( μ, σ) 여기서 σ는 표준 편차입니다.

많은 수의 약한 법은 말한다 IID 확률 변수에 대한
유한 평균이 주어진, ,

표준 편차가 유한하다고 가정 할 필요는 없습니다. μ ϵ > 0 P { | Z Nμ | > ε } 0 으로서 N .

Xi

μ

ϵ>0

P{|Zn−μ|>ϵ}→0  as n→∞.

OP의 질문에 대답하기 위해

  • OP에 명시된 중앙 제한 정리
    는 많은 수의 약한 법칙을 암시하지 않습니다 . 로 , 정리가 말한다 중심 극한의 OP의 버전
    약한 법이 있다고하면서P { | Z Nμ | > σ } 0.317 P { | Z Nμ | > σ } 0

    n→∞

    P{|Zn−μ|>σ}→0.317⋯

    P{|Zn−μ|>σ}→0
  • 중심 한계 정리 의 정확한 진술로부터, 유한 평균 및 표준 편차를 갖는 랜덤 변수에 적용되는 많은 수의 약한 법칙의 제한된 형태만을 최상으로 추론 할 수있다. 그러나 많은 수의 약한 법칙은 유한 수단이지만 무한 표준 편차를 갖는 파레토 랜덤 변수와 같은 랜덤 변수에도 적용됩니다.

  • 표본 평균 이 0이 아닌 표준 편차 로 정규 랜덤 변수에 수렴한다고 말하는 것이 표본 평균이 모집단 평균에 수렴한다고 말하는 것보다 더 강한 진술인 이유를 이해하지 못합니다 (또는 표준 편차 가 0 인 임의 변수) 너는 좋아한다).


답변

큰 수의 법칙의 경우, 모든 확률을 동일한 확률 공간에 정의해야합니다 (대수의 법칙은 모든 대해 의해 결정된 이벤트 확률에 대한 설명 이므로 ). 분포의 수렴의 경우 확률 확률이 서로 다를 수 있으며 증거의 여러 측면을 단순화합니다 (예 : 중첩 공간 증가, 다양한 삼각 배열 증명에 매우 일반적). 그러나 그것은 또한 과 의 공동 분포에 관한 진술을 할 수 없다는 것을 의미합니다 . 따라서 모든 변수에 대해 공통 확률 공간이 없다면 분포의 수렴이 많은 수의 법칙을 의미하지는 않습니다.n ˉ X n ˉ X n+1

X¯n

n

X¯n

X¯n+1

답변

n(X¯n−EX)

N(0,Var(X))

n

X

X

Y

n(1n∑j=1n(aXj+Yj)−E(aX+Y))→N(0,Var(aX+Y))

na(X¯n−EX)+n(Y¯n−EY)→N(0,a2Var(X)+Var(Y)).

다시 말해, 랜덤 변수의 선형 조합은 CLT 하에서 하나의 법선 인 법선의 선형 조합으로 수렴되지 않습니다. 임의 변수의 선형 조합은 CLT를 직접 적용 할 수있는 다른 임의 변수 일 뿐이므로 이치에 맞습니다.