유한 한 원을 둘러싸고있는 가장 작은 원을 계산하지 않는 방법 L\rangle 기준 많아야 세 요소를

우리는 유한 집합이 있다고 가정 $L$

의 디스크 $R^{2}$

, 우리는 가장 작은 디스크 계산하고자하는 $D$

에 대한 $⋃ L \subseteq D$

⋃L⊆D

. 이렇게하는 표준 방법은 기저 찾을 Matoušek, Sharir 및 Welzl [1]의 알고리즘을 사용하는 $B$

의 $L$

하고하게 $D = ⟨ B ⟩$

D=⟨B⟩

, 작은 디스크 함유 $⋃ B$

⋃B

. 디스크 $⟨ B ⟩$

⟨B⟩

때문에, 사실하여 수학적 계산 될 수 $B$

기준 인, 각 디스크 $B$

에 접하는 $⟨ B ⟩$

⟨B⟩

( $B \subseteq L$

B⊆L

A는 기준 의 $L$

만약 $B$

최소가되도록 $⟨ B ⟩ = ⟨ L ⟩$

⟨B⟩=⟨L⟩

기준 많아야 세 요소를 가진다.에서 공에 대한 일반적인 $R^{d}$

기준이 최대 갖는 $d + 1$

d+1

. 요소)

다음과 같이 무작위 재귀 알고리즘입니다. (그러나 이해하기 쉬운 반복 버전은 아래를 참조하십시오.)

절차 : $M S W (L, B)$

MSW(L,B)

입력 : 유한 디스크 세트 $L$

, $B$

여기서 $B$

는 ( $B$

) 기준 입니다.

만일 $L = \emptyset$ , 리턴 $B$ .
그렇지 않으면 무작위로 $X \in L$ 을 선택하십시오 .
하자 $B^{'} \leftarrow M S W (L - {X}, B)$ .
경우 $X \subseteq ⟨ B^{'} ⟩$ 후 반환 $B^{'}$ .
그렇지 않으면 리턴하십시오 . 여기서 는 의 기초입니다 . $M S W (L, B^{″})$ $B^{″}$ $B^{'} \cup {X}$

쓰임 에 기초하여 계산하기 위해 . $M S W (L, \emptyset)$

MSW(L,∅)

$L$

최근 에이 알고리즘을 구현해야했습니다. 무작위로 생성 된 수백만 개의 테스트 사례에서 결과가 올바른지 확인한 후 구현에 오류가 있음을 알았습니다. 마지막 단계에서 I는 반환 된 보다 . $M S W (L - {X}, B^{″})$

MSW(L−{X},B″)

$M S W (L, B^{″})$

MSW(L,B″)

이 오류에도 불구하고 알고리즘은 정답을 제공했습니다.

내 질문 : 이 잘못된 버전의 알고리즘이 왜 여기에 올바른 답변을 제공합니까? 항상 (아마도) 작동합니까? 그렇다면 더 높은 차원에서도 마찬가지입니까?

추가 : 몇 가지 오해

몇몇 사람들은 수정 된 알고리즘이 사소하게 정확하다는 효과에 대한 잘못된 주장을 제안 했으므로 여기에서 약간의 오해를 포괄하는 것이 유용 할 수 있습니다. 하나의 인기있는 잘못된 믿음은 것으로 보인다 . 그 주장에 대한 반례가 있습니다. 디스크를 감안 (경계를 아래와 같이 빨강에 도시되어있다) : $B \subseteq ⟨ M S W (L, B) ⟩$

B⊆⟨MSW(L,B)⟩

$a, b, c, d, e$

a,b,c,d,e

$⟨ a, b, e ⟩$

⟨a,b,e⟩

우리는 ; 및 참고 : $M S W ({c, d}, {a, b, e}) = {c, d}$

MSW({c,d},{a,b,e})={c,d}

$e \notin ⟨ c, d ⟩$

e∉⟨c,d⟩

어떻게 이런 일이 일어날 수 있습니다. 첫 번째 관찰은 . $M S W ({c}, {a, b, e}) = {b, c}$

MSW({c},{a,b,e})={b,c}

우리는 를 계산하려고합니다 $M S W ({c}, {a, b, e})$
선택하십시오 $X = c$
하자 $B^{'} = M S W (\emptyset, {a, b, e}) = {a, b, e}$
그 관찰 $X \notin ⟨ B^{'} ⟩$
따라서 를 의 기초로 두십시오. $B^{″}$ $B^{'} \cup {X} = {a, b, c, e}$
관찰 $B^{″} = {b, c}$
리턴 이며, $M S W ({c}, {b, c})$ ${b, c}$

이제 . $M S W ({c, d}, {a, b, e})$

MSW({c,d},{a,b,e})

우리는 를 계산하려고합니다 $M S W ({c, d}, {a, b, e})$
선택하십시오 $X = d$
하자 $B^{'} = M S W ({c}, {a, b, e}) = {b, c}$
그 관찰 $X \notin ⟨ B^{'} ⟩$
따라서 를 의 기초로 두십시오. $B^{″}$ $B^{'} \cup {X} = {b, c, d}$
관찰 $B^{″} = {c, d}$
리턴 이며, $M S W ({c, d}, {c, d})$ ${c, d}$

(명확성을 위해, 우리는 디스크라고하자 반경 2가 모두와 중심된다 , , , 및 각각.) $a, b, c, d, e$

a,b,c,d,e

$(30, 5)$

(30,5)

$(30, 35)$

(30,35)

$(10, 5)$

(10,5)

$(60, 26)$

(60,26)

$(5, 26)$

(5,26)

추가 : 반복 프리젠 테이션

알고리즘의 반복 표현에 대해 생각하는 것이 더 쉬울 수 있습니다. 분명히 그 행동을 시각화하는 것이 더 쉽다는 것을 알았습니다.

입력 : 디스크 목록 출력 : 기준 $L$

$L$

보자 . $B \leftarrow \emptyset$
셔플 무작위로. $L$
각 에 대해 : $X$ $L$
만약 : $X \notin ⟨ B ⟩$
하자 의 기초가 될 . $B$ $B \cup {X}$
2 단계로 돌아가십시오.
반환 합니다. $B$

그 이유는이 알고리즘이 종료하면, 또한, 항상 반경이 증가 단계 5 – 그리고 단지 유한 한 다수의 가능한 값이있는 . $⟨ B ⟩$

⟨B⟩

$B$

수정 된 버전에는 내가 볼 수있는 한 간단한 반복 표현이 없습니다. (이 게시물의 이전 편집에서 하나를 제공하려고 시도했지만 잘못되어 잘못된 결과가 발생했습니다.)

참고

[1] Jiří Matoušek, Micha Sharir 및 Emo Welzl. 선형 프로그래밍을위한 부분 지수입니다. Algorithmica, 16 (4-5) : 498–516, 1996.

답변

재귀를 계속하기 전에 에서 를 제거하는이 단계는 기본 후보 풀에서 이미 추가 된 를 제거하기 때문에 실제로 알고리즘을 개선합니다 . 기존 알고리즘과 동일하기 때문에 항상 작동 할 가능성이 높으며 더 높은 차원에서도 작동합니다. $X$

$L$

$X$

알고리즘을 추적하십시오. 사용할 때 ,가 및 . 2 단계에서 다시 선택했다고 가정합니다. 3 단계의 결과에 관계없이 재귀 함수에는 불변 값 가 있기 때문에 는 항상 갖습니다 . $M S W (L, B^{''})$

MSW(L,B′′)

$X \in L$

X∈L

$X \in B^{''}$

X∈B′′

$B^{'}$

B′

$X$

$B \subseteq M S W (L, B)$

B⊆MSW(L,B)

다시 말해, 가 선택된 부분에서 3 단계의 알고리즘 바로 가기가 개선 되었습니다. $X$

How IT

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유한 한 원을 둘러싸고있는 가장 작은 원을 계산하지 않는 방법 L\rangle 기준 많아야 세 요소를

추가 : 몇 가지 오해

추가 : 반복 프리젠 테이션

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