바이어 싱 다이로 페어 다이 시뮬레이션 알고리즘은 확률 1로 종료해야합니다. 즉,

바이어스 된 다이가 주어지면 범위의 난수가 어떻게 균일하게 생성 될 수 있습니까? 다이 페이스의 확률 분포는 알려져 있지 않으며, 알려진 모든 것은 각각의 페이스가 0이 아닌 확률을 가지며 확률 분포는 모든 드로우에서 동일하다는 것입니다 (특히, 스로우는 독립적 임). 이것은 불공정 한 주사위 로 공정 결과를 명백히 일반화 한 것 입니다. $N$

$[1, N]$

[1,N]

: 컴퓨터 과학 용어 이러는 우리가 다이 롤 나타내는 오라클이 되도록 제로와 무관 . 우리는 결정 론적 알고리즘을 찾고 에 의해 매개 변수화되어 (즉, 호출 할 수 있습니다 ) 등이 . 알고리즘은 확률 1로 종료해야합니다. 즉, 가 번 이상 호출 할 확률 은 로 수렴해야합니다 . $D : N \to [1, N]$

D:N→[1,N]

$p_{i} = P (D (k) = i)$

pi=P(D(k)=i)

$k$

$A$

$D$

$A$

$D$

$P (A () = i) = 1 / N$

P(A()=i)=1/N

$A$

$n$

$D$

$0$

$n \to \infty$

n→∞

들면 $N = 2$

N=2

, 공지의 알고리즘이있다 (코인이 바이어스 동전 뒤집에서 공정한 동전 시뮬레이션) :

두 번의 던지기가 뚜렷한 결과 ((머리, 꼬리) 또는 (꼬리, 머리))가 나올 때까지 “두 번 플립”을 반복하십시오. 즉, for $k = 0.. \infty$ 까지 반복 $D (2 k + 1) \neq D (2 k)$
마지막 뒤집기 쌍이 (머리, 꼬리)이면 0을 반환하고 (꼬리, 머리)이면 1을 반환합니다. 즉, 리턴 루프가 종료 된 인덱스이다. $D (2 k)$ $k$

편향된 다이로부터 편견없는 다이를 만드는 간단한 방법은 코인 플립 비 편향 방법을 사용하여 공정한 코인을 구축하고 시퀀스의 편향 제거 에서처럼 거부 샘플링으로 공정한 다이를 만드는 것입니다 . 그러나 이것이 확률 분포의 일반 값에 대해 최적입니까?

구체적으로, 내 질문은 : oracle에 대한 최소 예상 호출 횟수 가 필요한 알고리즘은 무엇 입니까? 도달 가능한 기대 값 세트가 열려 있으면 하한은 무엇이며이 하한으로 수렴하는 알고리즘 클래스는 무엇입니까?

서로 다른 확률 분포에 대해 서로 다른 알고리즘 계열이 최적 인 경우 거의 공정한 주사위에 초점을 맞 춥니 다. 나는 과 같은 분포에 최적 인 알고리즘 또는 알고리즘 계열을 찾고 있습니다. $\forall i, | p_{i} - 1 / N | < ϵ$

∀i,|pi−1/N|<ϵ

일부 $ϵ > 0$

ϵ>0

답변

다음의 논문은이 질문의 유사 변형에 대한 답을 제시한다 : 편견없는 랜덤 시퀀스의 효율적인 구성, Elias 1972 .

이 편향된 독립 소스에 대한 액세스가 주어지면 으로 임의의 숫자 시퀀스 를 출력하십시오 (단 하나의 출력 기호 만 요청되는 질문과의 차이에 유의하십시오). 원하는 출력의 길이가 무한대에 가까워짐에 따라 (von Neumann의 자연적인 일반화처럼 보이는) 논문의 체계의 “효율”은 . 이는 엔트로피 를 갖는 입력 이로 변환 됨을 의미 합니다. 접근하는 엔트로피의 출력 . $[1, N]$

[1,N]

$1$

$h$

예를 들어 샘플을 가져 와서 많은 정보를 가진 출력으로 끝나는 경우 (예를 들어, 모든 입력 심볼이 고유 하기 때문에) 단일 출력 자릿수를 요청하는 대신 이런 식으로 표현하면 질문이 훨씬 더 잘 작동하는 것 같습니다 그런 다음 모든 정보를 사용하여 많은 출력 기호를 생성 할 수 있지만 여기에 나와있는 질문에서 하나의 출력 기호를 생성하는 데 사용 된 정보 이외의 정보는 낭비됩니다. $N$

$N$

나는 그 체계가 반복적으로 드로우를 가져 와서 시퀀스를보고 출력 또는 빈 문자열을 매핑 한다고 믿습니다 . 기호를 출력하기에 “충분한”정보가있는 경우 접두사를보고 중지하여 질문에 대한 체계를 개선 할 수있는 방법이 있습니까? 모르겠어요 $N$

답변

일반화에 대해 설명하는 방법 . 롤이 독립적이기 때문에 의 모든 순열은 바이어스 된 다이에서도 동일하게 사용됩니다. 따라서 마지막 롤과 같은 순열을보고 마지막 롤을 출력 할 때까지 계속 롤링 할 수 있습니다 . $N = 2$

N=2

$[1.. N]$

[1..N]

$N$

일반적인 분석은 까다 롭습니다. 그러나, 주어진 단계에서 순열을 볼 확률이 작기 때문에 (그리고 이전과 이후의 단계와 무관하기 때문에) 까다로운 롤의 예상 롤 수는 에서 빠르게 증가한다는 것이 분명 합니다. 그것은 인 이상 고정을 위해 절차가 거의 확실하므로 종료하지만 (즉, 확률 ). $N$

$0$

$N$

$1$

고정 경우 , 합산 되는 마지막 파릭-벡터 집합에 대해 마르코프 체인을 구성 하여 마지막 롤 의 결과를 요약하고 도달 할 때까지 예상 단계 수를 결정할 수 있습니다. 처음으로 . 이것은 Parikh-vector를 공유하는 모든 순열이 동일하게 가능하기 때문에 충분합니다. 이런 식으로 체인과 계산이 더 간단합니다. $N$

$\leq N$

≤N

$N$

$(1, \dots, 1)$

(1,…,1)

우리는 상태에있는 가정 와 . 그런 다음 요소 를 얻을 확률 (즉, 다음 롤은 )은 항상 $v = (v_{1}, \dots, v_{N})$

v=(v1,…,vN)

$\sum_{i = 1}^{n} v_{i} \leq N$

∑i=1nvi≤N

$i$

. $\Pr [gain i] = p_{i}$

홍보⁡[이득 나는]=피나는

한편, 이력에서 원소 를 떨어 뜨릴 가능성 은 다음과 같이 주어진다. $i$

나는

$\Pr_{v} [drop i] = \frac{v_{i}}{N}$

홍보V⁡[하락 나는]=V나는엔

마다 (그리고 , 그렇지) 정확하게 Parikh 벡터의 모든 순열 때문에 똑같이 보인다. 이러한 확률은 독립적이므로 (롤이 독립적이므로) 다음과 같이 전이 확률을 계산할 수 있습니다. $\sum_{i = 1}^{n} v_{i} = N$

∑나는=1엔V나는=엔

$0$

$v$

$\begin{aligned} \Pr [v \to (v_{1}, \dots, v_{j} + 1, \dots, v_{N})] \\ = {\begin{cases} \Pr [gain j] & , \sum v < N \\ 0 & , else \end{cases}, \\ \Pr [v \to (v_{1}, \dots, v_{i} - 1, \dots v_{j} + 1, \dots, v_{N})] \\ = {\begin{cases} 0 & , \sum v < N \lor v_{i} = 0 \lor v_{j} = N \\ \Pr_{v} [drop i] \cdot \Pr [gain j] & , else \end{cases} and \\ \Pr [v \to v] \\ = {\begin{cases} 0 & , \sum v < N \\ \sum_{v_{i} \neq 0} \Pr_{v} [drop i] \cdot \Pr [gain i] & , else \end{cases}; \end{aligned}$

Pr⁡[v→(v1,…,vj+1,…,vN)]={Pr⁡[gain j],∑v<N0, else,Pr⁡[v→(v1,…,vi−1,…vj+1,…,vN)]={0,∑v<N∨vi=0∨vj=NPrv⁡[drop i]⋅Pr⁡[gain j], else andPr⁡[v→v]={0,∑v<N∑vi≠0Prv⁡[drop i]⋅Pr⁡[gain i], else;

다른 모든 전이 확률은 0입니다. 단일 흡수 상태는 의 모든 순열의 파리 크 벡터 인 입니다. $(1, \dots, 1)$

(1,…,1)

$[1.. N]$

[1..N]

들면 결과 마르코프 chain¹은 $N = 2$

N=2

^{[ 출처 ]}

흡수 될 때까지 예상 단계 수

$E steps = 2 p_{0} p_{1} \cdot 2 + \sum_{i \geq 3} (p_{0}^{i - 1} p_{1} + p_{1}^{i - 1} p_{0}) \cdot i = \frac{1 - p_{0} + p_{0}^{2}}{p_{0} - p_{0}^{2}},$

Esteps=2p0p1⋅2+∑i≥3(p0i−1p1+p1i−1p0)⋅i=1−p0+p02p0−p02,

단순화를 위해 . 지금, 제안대로, $p_{1} = 1 - p_{0}$

p1=1−p0

일부 $p_{0} = \frac{1}{2} \pm ϵ$

p0=12±ϵ

다음, $ϵ \in [0, \frac{1}{2})$

ϵ∈[0,12)

. $E steps = \frac{3 + 4 ϵ^{2}}{1 - 4 ϵ^{2}}$

Esteps=3+4ϵ21−4ϵ2

들면 균일 분포 (최상의 경우) I algebra² 컴퓨터로 계산을 수행했다; 상태 공간이 빠르게 폭발하므로 더 큰 값을 평가하기가 어렵습니다. 결과 (위로 반올림)는 $N \leq 6$

N≤6

^{플롯 쇼 의 함수로서의 ; 왼쪽에는 정규, 오른쪽에는 로그 플롯이 있습니다. $E steps$}

Esteps

$N$

성장은 기하 급수적으로 보이지만 값이 너무 작아서 좋은 추정치를 제공 할 수 없습니다.

의 섭동에 대한 안정성에 대해서는 우리가 상황을 볼 수 : $p_{i}$

$N = 3$

N=3

^{플롯은 보여줍니다. 의 함수로서 및 ; 당연히 입니다. $E steps$}

Esteps

$p_{0}$

$p_{1}$

$p_{2} = 1 - p_{0} - p_{1}$

p2=1−p0−p1

더 비슷한 사진을 가정하면 (커널도에 대한 상징적 인 결과를 계산 충돌하는 ) 단계의 예상 수는 상당히 모두를위한 안정적인 있지만 가장 극단적 인 선택 (거의 모든 또는 없음 질량 일부에서 보인다 ). $N$

$N = 4$

N=4

$p_{i}$

비교 를 위해, 공정한 동전을 시뮬레이션하고 최종적으로 비트 단위 거부 샘플링을 수행하기 위해이를 사용하여 바이어스 동전을 시뮬레이션합니다 (예 : 가능한 한 골고루 다이를 과 에 할당 하여). $ϵ$

$0$

$1$

$2 ⌈ \log N ⌉ \cdot \frac{3 + 4 ϵ^{2}}{1 - 4 ϵ^{2}}$

2⌈log⁡N⌉⋅3+4ϵ21−4ϵ2

다이 롤 기대-아마 당신은 그것에 충실해야합니다.

체인이 흡수하기 때문에 회색으로 표시된 모서리는 절대로 이송되지 않으며 계산에 영향을 미치지 않습니다. 나는 단지 완전성과 설명을 목적으로 그것들을 포함시킵니다. $(11)$
Mathematica 10에서의 구현 ( 노트북 , 베어 소스 ); 죄송합니다. 이런 종류의 문제에 대해 제가 아는 것입니다.

답변

사례 에 관한 간단한 설명 입니다. 일부 대형 번호를 가지고 , 샘플 다이의 발생합니다. 머리 가 있다면 를 추출 할 수 있습니다 $N = 2$

N=2

$m$

$k$

비트. 다이가바이어스되어있다고 가정하면,평균 정보량은
$\log (\binom{m}{k})$

log⁡(mk)

$p$

이 추정치를 얻으려면 이항 변수가추정와 함께주위에 집중되어 있다는 사실을 사용하십시오

\sum k = 0 m p k (1 - p) m - k (m k) log (m k) \approx m h (p) .

$k = p m$

k=pm

. 마찬가지로커지면, 우리는 최적의 속도 얻었다동전 던지기 당 (이것은 예를 들면, 점근선 균등 분배 속성 정보 이론적 이유로 적합하다). $\log (\binom{m}{k}) \approx m h (k / m)$

log⁡(mk)≈mh(k/m)

$m$

$h (p)$

h(p)

일반 대해 동일한 방법을 사용할 수 있으며 아마도 동일한 얻게 될 것입니다 . 이 알고리즘은 한계 내에서만 최적이며 알고리즘이 한계보다 빠르게 한계에 도달 할 수 있습니다. 사실, 나는 수렴 속도를 계산하는 것을 소홀히했다 – 그것은 흥미로운 운동일지도 모른다. $N$

$H (\vec{p})$

H(p→)

답변

다음과 같은 대답이 위험합니다.

$(p + q)^{2}$

(피+큐)2

$p$

피

$q$

큐

$2 p q$

2피큐

$p q$

피큐

$q p$

큐피

$p q$

피큐

$q p$

큐피

$N = 3$

엔=삼

$(p + q + r)^{3}$

(피+큐+아르 자형)삼

$p q r$

pqr

$q$

$p$

$r$

$N = 3$

N=3

$p q r$

pqr

특별한:

이것은 주사위의 각 결과의 확률을 추정하기 위해 단순히 많은 양을 샘플링하는 아이디어에 대해 생각하게합니다. 숨겨진 계층 (알려진 모델)이없는이 단일 계층 모델의 경우, 추정이 빠르게 수렴된다는 결론을 내릴 수 있습니다. 실제로 Chernoff 경계는 샘플링이 증가함에 따라 (선형 적으로) 오차가 기하 급수적으로 감소 함을 보여줍니다.

$\prod_{i = 1}^{i = n} p_{i}$

∏i=1i=np나는

그럼에도 불구하고,이 접근법은 질문의 다른 풍미에 대한 해답입니다. 이 질문은 잠재적으로 큰 샘플링 비용 (낮은 프로빙)에도 불구하고 완벽한 편견없는 보장을 요구합니다. 이 방법은 신뢰 매개 변수에 바인딩 된 유한 샘플링 만 사용합니다. 그래서 나는이 접근법이 매우 흥미 롭더라도이 질문에 적합하다고 생각하지 않습니다.

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바이어 싱 다이로 페어 다이 시뮬레이션 알고리즘은 확률 1로 종료해야합니다. 즉,

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