몬테카를로 알고리즘에 대한 야오의 미니 맥스 원리 . 그러면 원리는 피PP엑스X\mathcal{X}에이A\mathcal{A}피PP디D\mathcal{D}분 A ∈ A아르

유명한 Yao의 Minimax 원리 는 분포 복잡성과 무작위 복잡성 사이의 관계를 나타냅니다. 하자 유한 집합에 문제가 의 입력과 유한 집합 해결하는 결정적 알고리즘의 . 또한 은 입력 분포를 나타내고 은 의 확률 분포를 나타냅니다 . 그러면 원리는
$P$

$X$

$A$

$P$

$D$

$R$

$A$

분 A \in A E c o s t (A, D) \leq 최대 x \in X E c o s t (R, x) 모든 D 와 R에 대해 .

이 증거는 제로섬 게임에 대한 폰 노이만의 미니 맥스 정리에서 직접 따릅니다.

Yao의 원칙은 대부분 Las Vegas 알고리즘 만 다루지 만 다음과 같이 Monte Carlo 알고리즘 으로 일반화 할 수 있습니다 .

1 2 분 A \in A E c o s t 2 ϵ (A, D) \leq 최대 x \in X E c o s t ϵ (R, x) 모든 D, R 및 ε \in [0, 1 / 2]

에서 $c o s t_{ϵ} (\cdot, \cdot)$

costϵ(⋅,⋅)

은 최대 확률을 Monte Carlo 알고리즘의 비용을 나타냅니다 $ϵ$

에서 치아의 원래 종이 , 몬테 카를로 알고리즘에 대한 관계는 증거없이 정리 3에 주어진다. 그것을 증명하는 힌트가 있습니까?

답변

이것은 그의 표기법을 사용하여 Marcos의 답변에 대한 확장 된 주석입니다. 나는 그의 주장에 대한 세부 사항을 잘 이해할 수 없으며 아래 내용은 매우 짧고 쉽습니다.

평균화하여

\sum 에이 큐 (A) \sum 엑스 디 (x) ϵ (A, x) = \sum 엑스 디 (x) \sum 에이 큐 (A) ϵ (A, x) \leq λ .

위의 사실과 Markov의 불평등은 $\sum_{A \in β (2 λ)} q (A) \geq 1 / 2$

∑A∈β(2λ)q(A)≥1/2

합니다.

그래서 우리는 얻는다 :

최대 엑스 \sum 에이 큐 (A) r (A, x) \geq \sum 엑스 디 (x) \sum 에이 큐 (A) r (A, x) = \sum 에이 큐 (A) \sum 엑스 디 (x) r (A, x) \geq \sum A \in β (2 λ) 큐 (A) \sum 엑스 디 (x) r (A, x) \geq ⎛ ⎝ \sum A \in β (2 λ) 큐 (A) ⎞ ⎠ 분 A \in β (2 λ) \sum 엑스 디 (x) r (A, x) \geq 1 2 분 A \in β (2 λ) \sum 엑스 디 (x) r (A, x)

답변

이것에 대해 시도해 볼 것입니다. Yao의 원래 표기법을 사용하겠습니다. 이런 식으로 그의 논문과 그의 정의와 대조하기가 더 쉬울 것이다.

하자 입력 유한 집합, 그리고하자 일부 입력에 대한 정확한 대답을하지 못할 수 있습니다 결정적 알고리즘의 유한 집합을합니다. 또한하자 하는 경우 정확한 답에 대한 제공 및 , 그렇지. 또한 입력 에 대해 가 수행 한 쿼리 수를 로 표시 하거나 의 의사 결정 트리 깊이를 표시 합니다. $I$

$A_{0}$

$ϵ (A, x) = 0$

ϵ(A,x)=0

$A$

$x$

$ϵ (A, x) = 1$

ϵ(A,x)=1

$r (A, x)$

r(A,x)

$A$

$x$

$A$

평균 비용 : 확률 분포 감안 에 은 평균 비용 의 알고리즘 인 . $d$
d
$I$
I
$A \in A_{0}$
A∈A0
$C (A, d) = \sum_{x \in I} d (x) \cdot r (A, x)$
C(A,d)=∑x∈Id(x)⋅r(A,x)
분포 복잡성 : 보자 . 입력에 대한 분포 의 경우, 를 의해 주어진 의 부분 집합으로합니다 . 계산 문제 대한 오차 의 분포 복잡도 는 . $λ \in [0, 1]$
λ∈[0,1]
$d$
d
$β (λ)$
β(λ)
$A_{0}$
A0
$β (λ) = {A : A \in A_{0}, \sum_{x \in I} d (x) \cdot ϵ (A, x) \leq λ}$
β(λ)={A:A∈A0,∑x∈Id(x)⋅ϵ(A,x)≤λ}
$λ$
λ
$P$
P
$F_{1, λ} (P) = max_{d} min_{A \in β (λ)} C (A, d)$
F1,λ(P)=maxdminA∈β(λ)C(A,d)
$λ$
λ
-tolerance : 분배 패밀리에 IS -tolerant 경우 . $q$
q
$A_{0}$
A0
$λ$
λ
$max_{x \in I} \sum_{A \in A_{0}} q (A) \cdot ϵ (A, x) \leq λ$
maxx∈I∑A∈A0q(A)⋅ϵ(A,x)≤λ
예상 비용 : 무작위 알고리즘 경우 는 에서 tolerant 인 확률 분포입니다 . 예상 비용 의 주어진 입력에 대한 이고 . $R$
R
$q$
q
$λ$
λ
$A_{0}$
A0
$R$
R
$x$
x
$E (R, x) = \sum_{A \in A_{0}} q (A) \cdot r (A, x)$
E(R,x)=∑A∈A0q(A)⋅r(A,x)
무작위 복잡성 : 하자 . 오류 의 무작위 복잡도 는 입니다. $λ \in [0, 1]$
λ∈[0,1]
$λ$
λ
$F_{2, λ} = min_{R} max_{x \in I} E (R, x)$
F2,λ=minRmaxx∈IE(R,x)

이제 사업을 시작할 준비가되었습니다. 우리가 배포 주어진다 입증 할 입력에와 무작위 알고리즘 (즉, 배포 에 ) $d$

$R$

$q$

$A_{0}$

Montecarlo 알고리즘에 대한 Yao의 Minimax 원리
대 .
$max x \in I E (R, x) \geq 1 2 min A \in β (2 λ) C (A, d)$
$λ \in [0, 1 / 2]$
λ∈[0,1/2]

나는 Fich, Meyer auf der Heide, Ragde 및 Wigderson (Lemma 4 참조)이 제시 한 접근법을 따를 것 입니다. 그들의 접근 방식은 Las Vegas 알고리즘에 대한 특성을 나타내지 않지만 (하한에만 해당), 우리의 목적에는 충분합니다. 그들의 증거로부터, 및 $A_{0}$

$I$

주장 1. . $max_{x \in I} E (R, x) \geq min_{A \in A_{0}} C (A, d)$

maxx∈IE(R,x)≥minA∈A0C(A,d)

정확한 숫자를 얻기 위해 비슷한 것을 할 것입니다. 무작위 알고리즘 의해 주어진 확률 분포 가 대해 tolerant 라면,

제품군 을 $q$

$R$

$λ$

$A_{0}$

λ \geq max x \in I {\sum A \in A 0 q (A) \cdot ϵ (A, x)} \geq \sum x \in I d (x) \sum A \in A 0 q (a) \cdot ϵ (A, x) = \sum A \in A 0 q (a) \sum x \in I d (x) \cdot ϵ (A, x) \geq min A \in A 0 {\sum x \in I d (x) \cdot ϵ (A, x)} .

$A_{0}$

$β (2 λ)$

β(2λ)

우리는 그것을 본다

λ \geq max x \in I {\sum A \in A 0 q (A) \cdot ϵ (A, x)} \geq max x \in I ⎧ ⎩ ⎨ \sum A \in β (2 λ) q (A) \cdot ϵ (A, x) ⎫ ⎭ ⎬ \geq \sum x \in I d (x) \sum A \in β (2 λ) q (a) \cdot ϵ (A, x) = \sum A \in β (2 λ) q (a) \sum x \in I d (x) \cdot ϵ (A, x) \geq min A \in β (2 λ) {1 2 \sum x \in I d (x) \cdot ϵ (A, x)},

여기서 두 번째 부등식은 이므로 마지막 부등식은 합을 2로 나눈 값이 보다 클 수없는 의 정의에 의해 주어집니다 . 따라서
$β (2 λ) \subseteq A_{0}$

β(2λ)⊆A0

$β (2 λ)$

β(2λ)

$λ$

max x \in I {\sum A \in A 0 q (A) \cdot ϵ (A, x)} \geq 1 2 min A \in β (2 λ) {\sum x \in I d (x) \cdot ϵ (A, x)} .

것을주의함으로써 매핑 및 매핑 및 상기 제 1, 이제 우리는 안전 함수 바꿀 수 이상 부등식하여 수득 원하는 불평등. $ϵ$

${0, 1}$

{0,1}

$r$

$N$

$ϵ$

$r (A, x)$

r(A,x)

How IT

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몬테카를로 알고리즘에 대한 야오의 미니 맥스 원리 . 그러면 원리는 피PP엑스X\mathcal{X}에이A\mathcal{A}피PP디D\mathcal{D}분 A ∈ A아르

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