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umvue

의 UMVUE 찾기 모수 지수 군으로 h(x)=I(0,∞)h(x)=I(0,∞)h(x)=I_{(0,\infty)}, c(θ)=θc(θ)=θc(\theta)=\theta, w(θ)=−(1+θ)w(θ)=−(1+θ)w(\theta)=-(1+\theta),

허락하다

X1,X2,...,Xn

pdf를 가진 iid 랜덤 변수

fX(x∣θ)=θ(1+x)−(1+θ)I(0,∞)(x)

어디

θ>0

. UMVUE에게

분산을 계산

나는 UMVUE를 얻는 두 가지 방법에 대해 배웠습니다.

  • 크 래머-라오로 바운드 (CRLB)
  • 레만-쉐프 테레 옴

나는 두 가지 중 하나를 사용하여 이것을 시도 할 것입니다. 나는 여기서 무슨 일이 일어나고 있는지 완전히 이해하지 못한다는 것을 인정해야하며, 시도한 해결책을 예제 문제에서 근거로 삼고 있습니다. 나 그거있어

fX(x∣θ)

전체 1 모수 지수 군으로

h(x)=I(0,∞)

,

c(θ)=θ

,

w(θ)=−(1+θ)

,

t(x)=log(1+x)

이후

w′(θ)=1

0이 아닌

Θ

CRLB 결과가 적용됩니다. 우리는

log fX(x∣θ)=log(θ)−(1+θ)⋅log(1+x)

∂∂θlog fX(x∣θ)=1θ−log(1+x)

∂2∂θ2log fX(x∣θ)=−1θ2

그래서

I1(θ)=−E(−1θ2)=1θ2

그리고 편견이없는 추정기의 CRLB

τ(θ)

이다

[τ′(θ)]2n⋅I1(θ)=θ2n[τ′(θ)]2

이후

∑i=1nt(Xi)=∑i=1nlog(1+Xi)

그런 다음 선형 함수

∑i=1nlog(1+Xi)

또는 이와 동등한 선형 함수

1n∑i=1nlog(1+Xi)

, 기대의 CRLB를 달성하므로 기대의 UMVUE가됩니다. 이후

E(log(1+X))=1θ

우리는 UMVUE의

이다

1n∑i=1nlog(1+Xi)

자연스러운 매개 변수화를 위해

η=−(1+θ)⇒θ=−(η+1)

그때

Var(log(1+X))=ddη(−1η+1)=1(η+1)2=1θ2

이것이 유효한 해결책입니까? 더 간단한 접근법이 있습니까? 이 방법은

E(t(x))

당신이 추정하려고하는 것과 같습니까?



답변

당신의 추론은 대부분 맞습니다.

샘플의 조인트 밀도

(X1,X2,…,Xn)

이다

fθ(x1,x2,…,xn)=θn(∏i=1n(1+xi))1+θ1x1,x2,…,xn>0,θ>0⟹ln⁡fθ(x1,x2,…,xn)=nln⁡(θ)−(1+θ)∑i=1nln⁡(1+xi)+ln⁡(1min1≤i≤nxi>0)⟹∂∂θln⁡fθ(x1,x2,…,xn)=nθ−∑i=1nln⁡(1+xi)=−n(∑i=1nln⁡(1+xi)n−1θ)

따라서 우리는 형태로 점수 함수를 표현했습니다

(1)∂∂θln⁡fθ(x1,x2,…,xn)=k(θ)(T(x1,x2,…,xn)−1θ)

이것은 Cramér-Rao 불평등의 평등 조건입니다.

확인하는 것은 어렵지 않습니다

(2)E(T)=1n∑i=1nE(ln⁡(1+Xi))⏟=1/θ=1θ

에서

(1)

(2)

우리는 결론을 내릴 수 있습니다

  • 통계
    T(X1,X2,…,Xn)

    편견이없는 추정량입니다 1/θ

    .

  • T

    Cramér-Rao 불평등의 평등 조건을 충족시킵니다.

이 두 가지 사실은 함께

T

의 UMVUE입니다

1/θ

.

두 번째 글 머리 기호는 실제로

T

Cramér-Rao 하한에 도달

1/θ

.

실제로, 당신이 보여준 것처럼

Eθ[∂2∂θ2ln⁡fθ(X1)]=−1θ2

이것은 전체 샘플에 대한 정보 기능이

I(θ)=−nEθ[∂2∂θ2ln⁡fθ(X1)]=nθ2

그래서 Cramér-Rao 하한

1/θ

따라서 UMVUE의 분산은

Var⁡(T)=[ddθ(1θ)]2I(θ)=1nθ2


여기서 우리는 Cramér-Rao 불평등의 목록을 이용했습니다.

f

에 의해 매개 변수

θ

통계량 인 경우 (CR 불평등의 규칙적 조건을 유지한다고 가정)

T

편견이 없다

g(θ)

일부 기능

g

그것이 CR 불평등의 평등 조건을 만족한다면, 즉

∂∂θln⁡fθ(x)=k(θ)(T(x)−g(θ))

그런 다음

T

의 UMVUE 여야합니다

g(θ)

. 따라서이 논쟁은 모든 문제에서 작동하지는 않습니다.

또는 Lehmann-Scheffe 정리를 사용하면 다음과 같이 말할 수 있습니다.

T=1n∑i=1nln⁡(1+Xi)

의 UMVUE입니다

1/θ

편견이 없기 때문에

1/θ

분포 제품군에 대한 충분한 통계입니다. 그

T

1- 파라미터 지수 패밀리로 샘플의 조인트 밀도의 구조로부터 충분히 경쟁적이다. 그러나 분산

T

직접 찾기가 약간 까다로울 수 있습니다.


답변