된 그래프 주어
G=(U∪V,E)포지티브 가중치하자 와 그래프에서 최대 가중치 매칭 동일 f ( S ) G [ S ∪ V ]
f:2U→Rf(S)
G[S∪V]
.
f
가 하위 모듈 함수 라는 것이 사실 입니까?
답변
정의 . 주어진 유한 세트 경우, 설정된 함수 f : 2 A → R 은 X , Y ⊆ A에 대해 하위 모듈 식 입니다.
f ( X ) +
f:2A→R
X,Y⊆A
Lemma 양의 간선 가중치를
갖는 이분 그래프 가 주어지면 f : 2 A → R +를 S ⊆ A 를 G 의 최대 중량 일치 값에 매핑하는 함수로 설정합니다 [ S ∪ B ] . 그런 다음 f 는 하위 모듈입니다.
f:2A→R+
S⊆A
G[S∪B]
f
증명.
두 세트 수정 하고 M ∩ 및 M ∪을 그래프 G [ ( X ∩ Y ) ∪ B ] 및 G [ ( X ∪ Y ) ∪ B ]에 대해 두 개의 일치로 설정하십시오 . 보조 정리를 증명하기가의 가장자리를 분할 할 수 있음을 보여주기에 충분하다 M ∩ 및 M을 ∪ 두 개의 분리 된의 matchings에 M X 와 M Y
M∩
M∪
G[(X∩Y)∪B]
G[(X∪Y)∪B]
M∩
M∪
MX
MY
그래프 및 G [ Y ∪ B ] 각각에 대해.
G[X∪B]G[Y∪B]
가장자리 및 M은 ∪ 교호 경로와 사이클의 컬렉션을 형성한다. 하자 C는 이 컬렉션을 표시하고 전혀주기를 관찰 C가 에서 정점을 포함하지 않는 X ∖ Y 또는 Y ∖ X를 . 이것은 M ∩ 이 그 정점과 일치하지 않기 때문에 유지 됩니다.
M∩M∪
C
C
X∖Y
Y∖X
M∩
하자 있는 경로들의 집합 C 에 적어도 하나 개의 꼭지점 X ∖ Y
PXC
X∖Y
및하자 있는 경로들의 집합 C 에 적어도 하나 개의 꼭지점과 Y ∖ X . 이러한 두 가지 경로가 아래 그림에 나와 있습니다.
PYC
Y∖X
청구 1.
.
경로가 존재한다고 가정 모순 . 하자 x는 의 정점이 될 X ∖ Y 경로에 P 유사하게 y는 의 정점이 될 Y ∖ X 경로에 P . 그 때문에도 관찰 X 나 Y , Y가 에 , 경로 P는 처음이나 마지막 에지에 속하거나, 심지어 길이를 가지고 있으며 교대로하기 때문에
P∈PX∩PYx
X∖Y
P
y
Y∖X
P
x
y
에 속한다 가 일치 속하지 않는 M ∩ 정의하여, 따라서 이들은 경로의 끝점이다 P는 . 또한, x 와
X∩YM∩
P
x
y
A
P
. 따라서 M ∩ 는 x 또는 y 와 일치하여 정의와 모순되고 주장을 증명합니다.
M∩M∩
x
y
하자
및
M Y = ( P X ∩ M ∩ ) ∪ ( ( C ∖ P X ) ∩ M ∪ ) . 그리고 M X ∩ M Y = M ∩ ∩ M ∪
그것은 분명 그
MX∩MY=M∩∩M∪
. 정리를 증명하기 위해, 및 M Y 가 각각 G [ X ∪ B ] 및 G [ Y ∪ B ]에 대해 유효한 일치 임을 보여줍니다 . 있는지 M X X를 보낸 P X가 교차하지 Y ∖ X 제 1 및 M ∩ 교차하지 Y ∖ X 정의. 따라서 M X 는 X ∪ B의 꼭짓점 만 사용합니다.
MXMY
G[X∪B]
G[Y∪B]
MX
위한 유효한 matchings 인 어떠한 버텍스 있다는 것을 처음 관찰 Y ∖ X가 일치되지 M
G[X∪B]Y∖X
MX
PX
Y∖X
M∩
Y∖X
MX
X∪B
. 둘째, 모든 정점 는 M X 의 최대 한 모서리와 일치 한다는 점을 관찰하십시오. 그렇지 않으면 G [ X ∪ B ]에 대한 유효한 일치입니다 . 그것을 보여주는
x∈XMX
하나의 두 에지들에 속하는 M ∪ 또는 두 에지 M ∩ 정의 모순. 이것은 M X
xM∪
M∩
MX
G[X∪B]
가 G [ Y ∪ B ]에 대한 유효한 일치.
MYG[Y∪B]