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나는 다음 진술에 당황했다.

“숫자 집합의 표준 편차를 증가 시키려면 평균에서 두 개 이상의 표준 편차 인 값을 추가해야합니다.”

그 증거 는 무엇입니까 ? 물론 표준 편차를 정의하는 방법을 알고 있지만 그 부분은 어떻게 든 그리워합니다. 다른하실 말씀 있나요?

답변

들면 모든 번호 평균이
함으로써, 분산 주어진다

적용 중 주어진 숫자 집합에
대해 평균 이라는 박람회의 편의를 위해 취 합니다.
$N$

$y_{1}, y_{2}, \dots, y_{N}$

y1,y2,…,yN

$\bar{y} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} y_{i}$

y¯=1N∑i=1Nyi

σ 2 σ 2 = 1 N - 1 \sum i = 1 N (y i - y ¯) 2 = 1 N - 1 \sum i = 1 N (y 2 i - 2 y i y ¯ + y ¯ 2) = 1 N - 1 [(\sum i = 1 N y 2 i) - 2 N (y ¯) 2 + N (y ¯) 2] = 1 N - 1 \sum i = 1 N (y 2 i - (y ¯) 2) (1)

$(1)$

(1)

$n$

$x_{1}, x_{2}, \dots x_{n}$

x1,x2,…xn

$\bar{x} = 0$

x¯=0

σ 2 = 1 n - 1 \sum i = 1 n (x 2 i - (x ¯) 2) = 1 n - 1 \sum i = 1 n x 2 i

이제이 데이터 세트에 새로운 관측 값 을 추가하면 데이터 세트의 새로운 평균은

동안 새 분산은

따라서보다 커야한다 $x_{n + 1}$

xn+1

1 n + 1 \sum i = 1 n + 1 x i = n x ¯ + x n + 1 n + 1 = x n + 1 n + 1

σ^2 = 1 n \sum i = 1 n + 1 (x 2 i - x 2 n + 1 ( n + 1 ) 2) = 1 n [((n - 1) σ 2 + x 2 n + 1) - x 2 n + 1 n + 1] = 1 n [(n - 1) σ 2 + n n + 1 x 2 n + 1] > σ 2 only if x 2 n + 1 > n + 1 n σ 2 .

$| x_{n + 1} |$

|xn+1|

$σ \sqrt{1 + \frac{1}{n}}$

σ1+1n

또는보다 일반적으로 은 이상으로 원래 데이터 세트 의 평균 와 보강 된 데이터 세트가 원래 데이터 세트보다 더 큰 분산을 가지도록 . 새로운 편차가보다 크다고 지적 레이 쿠프의 대답은, 동일하거나보다 작은, 일본어 분산뿐만있어서 참조
미만 이상으로 평균 상이을 정확히 또는 . $x_{n + 1}$

xn+1

$\bar{x}$

x¯

$σ \sqrt{1 + \frac{1}{n}}$

σ1+1n

$x_{n + 1}$

xn+1

$σ \sqrt{1 + \frac{1}{n}}$

σ1+1n

답변

수수께끼 진술은 표준 편차가 증가하기 위해 필요하지만 불충분 한 조건을 제공합니다. 이전 샘플 크기이면 , 기존의 평균은 이전의 표준 편차이고, , 새로운 포인트는 , 새로운 표준 편차는 동일하거나보다 큰,보다 될 데이터에 추가 항 로 보다 작거나 같습니다 . $n$

$m$

$s$

$x$

$s$

$| x - m |$

|x−m|

$s \sqrt{1 + 1 / n}$

s1+1/n

답변

대수를 제외하고 (이것도 작동합니다) 다음과 같이 생각하십시오. 표준 편차는 분산의 제곱근입니다. 분산은 평균에서 제곱 거리의 평균입니다. 이보다 평균에 가까운 값을 추가하면 분산이 줄어 듭니다. 이 값보다 평균에서 더 큰 값을 추가하면 값이 커집니다.

이것은 음수가 아닌 모든 평균 값에 해당됩니다. 평균보다 높은 값을 추가하면 평균이 증가합니다. 더 작은 값을 추가하면 감소합니다.

답변

나는 당신이 대수학을 시작하게 할 것이지만, 그것을 완전히 받아들이지는 않을 것입니다. 먼저 평균을 빼고 표준 편차 ( 나누어 데이터를 표준화하십시오 가 평균의 하나의 표준 편차 내에 있으면 는 -1과 1 사이입니다. 가 정확히 평균에서 sd 떨어진 경우 Z는 1 입니다. 그런 다음, 표준 편차에 대한 방정식에서 보면 : 어떻게됩니까 경우 사이 -1 그리고 1?

Z = x - μ σ .

$x$

$Z$

$x$

σ = \sum N i = 1 Z 2 i N - 1 - - - - - - - - \sqrt

$σ$

$Z_{N}$

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