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를 노드 및 모서리 가있는 연결된 그래프 라고 합시다 . 하자 그래프 (정수) 중량 나타내고 함께 그래프의 총 중량. 노드 당 평균 가중치는 입니다. 하자 나타낸다 노드의 편차 평균에서. 우리는불균형 노드의 . $G$

$G = (V, E)$

G=(V,E)

$V = 1 \dots n$

V=1…n

$E$

$w_{i}$

$G$

$\sum_{i} w_{i} = m$

∑iwi=m

$\bar{w} = m / n$

w¯=m/n

$e_{i} = w_{i} - \bar{w}$

ei=wi−w¯

$i$

$| e_{i} |$

|ei|

$i$

인접한 두 노드 사이의 가중치가 최대 , 즉
다를 수 있다고 가정하십시오 $1$

w i - w j \leq 1 \forall (i, j) \in E .

질문 : 측면에서 네트워크가 가질 수있는 가장 큰 가능한 불균형, 무엇 과 ? 더 정확하게 벡터 . 나는 또는 관한 결과에 똑같이 입니다. $n$

$m$

$\vec{e} = (e_{1}, \dots, e_{n})$

e→=(e1,…,en)

$| | \vec{e} | |_{1}$

||e→||1

$| | \vec{e} | |_{2}$

||e→||2

들면 그래프 직경면에서 결합 간단한 발견 될 수있다 : 모든 때문에 제로로 합산되어야 큰 양수가 있으면 어딘가에 음의 존재해야 . 따라서 그들의 차이점적어도그러나이 차이는 노드 와 사이의 최단 거리 일 수 있으며, 이는 최대 그래프 직경 일 수 있습니다. $| | \vec{e} | |_{\infty}$

||e→||∞

$e_{i}$

$e_{j}$

$| e_{i} - e_{j} |$

|ei−ej|

$| e_{i} |$

|ei|

$i$

$j$

또는 노름에 대해 더 강한 경계에 관심이 있습니다. 그래프의 연결성을 반영하기 위해 스펙트럼 그래프 이론이 포함되어야한다고 가정합니다. 나는 그것을 최대 흐름 문제로 표현하려고 노력했지만 아무 소용이 없었다. $1$

$2$

편집 : 자세한 설명. 나는 총 불균형을보다 정확하게 반영하기 때문에 또는 노름에 관심이 있습니다. 사소한 관계는 및 . 그러나 그래프의 연결성과 인접 노드 간의 부하 차이에 대한 제약으로 인해 및 노름이 훨씬 작아야합니다. $1$

$2$

$| | \vec{e} | |_{1} \leq n | | | \vec{e} | |_{\infty}$

||e→||1≤n|||e→||∞

$| | \vec{e} | |_{2} \leq \sqrt{n} | | \vec{e} | |_{\infty}$

||e→||2≤n||e→||∞

$1$

$2$

예 : 차원 d의 하이퍼 큐브 ( . 직경은 입니다. 최대 불균형은 최대 입니다. 이것은 -norm 의 상한으로 제안됩니다 . 지금까지 이것이 실제로 얻은 상황을 구성 할 수 없었습니다. 할 수있는 최선의 방법은 줄을 따라 무언가를 만드는 것입니다. 하이퍼 큐브와 노드에 불균형 , , , 등이 있습니다. 따라서 여기서 의 계수로 경계가 해제됩니다. $n = 2^{d}$

n=2d

$d = \log_{2} (n)$

d=log2⁡(n)

$d$

$1$

$n d = n \log_{2} (n)$

nd=nlog2⁡(n)

$| | \vec{e} | |_{1} = n / 2$

||e→||1=n/2

$0$

$1$

$0$

$- 1$

−1

$\log (n)$

log⁡(n)

, 나는 (무증상) 단단한 경계를 찾고 있기 때문에 이미 너무 많이 고려합니다.

답변

이후 직경에 의해 제한된다 는 규범 소소 의해 제한 될 예정 마찬가지로, 대 규범에 의한 경우를 제외하고 (실제로 규범에 의해 제한되는 ). $| e_{i} |$

|ei|

$d$

$ℓ_{1}$

ℓ1

$n d$

$ℓ_{2}$

ℓ2

$\sqrt{n} d$

$ℓ_{p}$

ℓp

$n^{1 / p} d$

n1/pd

경우 의외로 쉽게 분석하는 것으로 밝혀졌습니다. $ℓ_{1}$

ℓ1

경로를 보려면 이 이므로 쉽게 알 수 있으므로 보다 더 나은 방법은 없습니다 . $‖ \vec{e} ‖_{1}$

‖e→‖1

$O (n^{2})$

O(n2)

$O (n d)$

O(nd)

완전한 ary 트리의 경우, 루트에서 반으로 나누고 으로 설정하면 한 쪽은 오름차순이고 나뭇잎은 , 다시 생성합니다. $k$

$w_{root} = 0$

wroot=0

$| e_{i} | = | w_{i} | = \log_{k} n$

|ei|=|wi|=logk⁡n

$O (n \log_{k} n) = O (n d)$

O(nlogk⁡n)=O(nd)

비틀기의 경우 가중치를 모두 어떻게 분배하는지는 중요하지 않습니다. 가중치는 모두 서로 이내이므로 다시 생성됩니다. $1$

$O (n) = O (n d)$

O(n)=O(nd)

당신은 우리가 여기에 대해 얘기하는 함수임을 깨달을 때 , 그리고 우리가 가지고있는 그 일반적으로 범위에 걸쳐 가중치 임의로 균등하게 분배 할 수있는 한, 경계는 입니다. $e : Z \to [- d / 2, d / 2] \subset R$

e:Z→[−d/2,d/2]⊂R

$ℓ_{1}$

ℓ1

$e_{i} \in [- d / 2, d / 2]$

ei∈[−d/2,d/2]

$O (n d)$

O(nd)

이것을 바꾸는 유일한 방법은 대중과 게임을하는 것입니다. 예를 들어, 길이가 같은 두 개의 경로가 튀어 나와있는 거대 클리크와 같이 반드시 균형이 잡힌 지점에 여러 개의 거대 클리크가있는 경우 의 경계에만 의존 할 수 있습니다 . $O (d^{2})$

O(d2)

이것은 어느 정도 확장기에도 해당 될 수 있지만 확실하지 않습니다. 정규 그래프에서 을 설정 한 다음 모든 홉에서 값을 증가 시키는 경우를 상상할 수 있습니다. 평균이 가장 많은 질량을 가질 가능성이있는 것 같지만, 그것이 한계에 영향을 미칠만큼 충분한 지 모르겠습니다. $w_{1} = 0$

w1=0

에 대해 비슷하게 추론 할 수 있다고 생각합니다 . $ℓ_{2}$

ℓ2

편집하다:

의견에서 우리 는 문제의 제약과 일부 기본 스펙트럼 그래프 이론을 사용하여 의 (느슨한) 경계를 알아 냈습니다 . $ℓ_{2}$

ℓ2

$O (| E | / λ_{2} (L))$

O(|E|/λ2(L))

답변

연결된 그래프의 경우 불균형은 그래프의 직경에 의해 상한이됩니다. 불균형을 구속하기 위해 각 를 로 다시 쓸 수 있습니다. 여기서 는 에서 까지의 최단 경로입니다 . 정의 . 우리는 쓸 수 있습니다
$| w_{i} - 1 / n \sum_{k} w_{k} |$

|wi−1/n∑kwk|

$w_{k}$

$w_{k} - v_{1} + v_{1} - v_{2} + v_{2} - . . . - v_{k} + v_{k} - w_{i} + w_{i}$

wk−v1+v1−v2+v2−...−vk+vk−wi+wi

$w_{k}, v_{1}, . . ., v_{k}, w_{i}$

wk,v1,...,vk,wi

$w_{i}$

$w_{k}$

$w_{k i} = w_{k} - v_{1} + v_{1} - v_{2} + v_{2} - . . . - v_{k} + v_{k} - w_{i}$

wki=wk−v1+v1−v2+v2−...−vk+vk−wi

| w i - 1 / n \sum k w k | = | w i - 1 / n \sum k (w k i + w i) | = | \sum k \neq i w k i n |

각 는 각 에 대해 가정하여 에서 까지의 최단 경로 길이에 상한이 있습니다 . 따라서 우리는 사소한 경계를 .
$w_{k i}$

wki

$i$

$k$

$w_{i} - w_{j} \leq 1$

wi−wj≤1

$i, j \in E$

i,j∈E

| w i - 1 / n \sum k w k | \leq ( n - 1 ) n D

이것은 실제로 최적에서 그리 멀지 않을 수 있습니다. 각 레벨의 노드가 이전 레벨의 가중치보다 하나 높은 가중치 를 갖는 완전한 ary 트리를 생각하고 있습니다. 그래프의 큰 부분이 가장 높은 가중치 갖습니다 . 따라서 평균은 맨 위로 기울어 져야합니다. 마찬가지로 및 커지면, I 기대 점점 더 가까이로 가져 불균형은 점점 더 가까이에 가야 수단 . $k$

$D + 1$

D+1

$k$

$n$

$m$

$D + 1$

D+1

$D$

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그래프의 최대 불균형? \dots, e_n)||e⃗ ||1||e→||1||\vec{e}||_1||e⃗ ||2||e→||2||\vec{e}||_2 들면 그래프 직경면에서

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