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DFA에 대한 흥미로운 공개 문제 중 하나에 나와 있습니다. DFA에 대해 공개 된 문제가 있습니까? 길이가 두 개의 문자열을 구분하는 데 필요한 DFA의 크기입니다 $n$

엔

. 임의의 DFA가 두 개의 주어진 (비 랜덤) 문자열을 분리하는 기능에 대한 결과가 있는지 궁금합니다.

충분히 많은 상태의 무작위 DFA는 문자열을 확률이 높은 것으로 구분합니다. 특히 $u, v \in Σ^{n}$

유,V∈Σ엔

, $O (n)$

영형(엔)

상태 의 임의의 DFA 는 $u$

유

와 $v$

다른 첫 번째 위치에 도달하면 동일한 상태를 다시 방문 할 가능성이 없으므로 $u$

유

와 분리 $v$

합니다.

더 잘할 수 있을까요? 이상적으로는, 작은 무엇 성이있는 임의의 DFA와 의 길이 상태 분리형 문자열 양의 확률 (혹은 확률 )? 간단한 검색은 무작위 DFA의 속성에 대한 많은 결과를 나타내지 않았습니다. 내가 찾을 수있는 것은 http://arxiv.org/abs/1311.6830 이었습니다 . $f (n)$

에프(엔)

$f (n)$

에프(엔)

$n$

엔

$\geq 1 / 2$

≥1/2

답변

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이것은 단지 비공식적 인 아이디어이며 도움이되는지 모르겠지만 의견으로 제시하기에는 너무 깁니다. 또한 임의의 DFA에 익숙하지 않으므로 확률에 대해 추론해야 할 방법에 대한 잘못된 직관이있을 수 있지만 이것이 완전히 가치가없는 것은 아닙니다.

나는 당신의 한계가 와 차이 에 달려 있다고 가정합니다 . 그렇지 않은 경우, 그것은 최악의 경우 자신의 첫 번째 문자 만 다른 문자열이라는 것을 나에게 분명한 것 같다 (세트에서 서로 다른 문자열 위치는 세트에서 서로 다른 문자열보다 떨어져 말했다되는 더 많은 기회가 위치를 , 가능한 한 빨리 차이를두면 재 동기화 할 수 있습니다). $u$

유

$v$

$X$

엑스

$Y \subset X$

와이⊂엑스

또한 단어가 구별 될 가능성, 즉 단어가 다른 상태에 도달 할 가능성을 살펴 보겠습니다. 그런 다음 임의의 DFA가 최종 상태를 할당하는 방식에 따라 수락 또는 거부되도록 조정해야한다고 생각합니다. 각 상태의 확률이 최종 확률의 1/2 인 경우, 스트링이 동일한 상태에서 끝나는 경우에는 구별되지 않으며, 다른 상태에서 끝나는 경우에는 1/2의 확률이 있습니다.

이제 와 에서 얻은 단어 를 다음과 같이 고려할 것입니다 . 이면 이고 , 그렇지 않으면 입니다. 나는 가 와 에 관해 고려해야 할 유일한 흥미로운 것임이 분명하다고 생각합니다 . $w$

승

$u$

유

$v$

$w_{i} = 1$

승나는=1

$u_{i} = v_{i}$

유나는=V나는

$w_{i} = 0$

승나는=0

$w$

승

$u$

유

$v$

이제, 와 의 길이 의 접두사를 읽은 후 가 같은 상태에있을 확률을 정의 하고, 가 아닌 확률을 정의하십시오. $p (i)$

피(나는)

$i$

나는

$u$

유

$v$

$q (i) = 1 - p (i)$

큐(나는)=1−피(나는)

이 때 이 있다고 생각 합니다. 직관적으로, 우리가 읽은 후 같은 상태에있다 문자를 하나 우리가 읽은 후 같은 상태에있을 때 우리가 두 개의 서로 다른 (임의) 상태에있을 때, 또는 우리는 무작위 상태로이 전환을 그려, 그들은 일어난 같은 것입니다. 마찬가지로 $p (i + 1) = p (i) + q (i) / n$

p(i+1)=p(i)+q(i)/n

$w_{i + 1}$

wi+1

$1$

$i + 1$

i+1

$i$

때 것입니다 : 두 개의 무작위 상태, 당신은에서 시작 상관없이 받고있다. $p (i + 1) = 1 / n$

p(i+1)=1/n

$w_{i + 1}$

wi+1

$0$

이것으로부터 와 읽은 후 같은 상태에있을 확률을 계산할 수 있다고 생각합니다 . $u$

$v$

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임의의 DFA로 단어 분리 와 VVv 다른 첫 번째 위치에 도달하면

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