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Chernoff 경계에 대한 표준 증거 ( Randomized Algorithms 교재)는 Markov 부등식과 모멘트 생성 기능을 사용합니다. 약간의 Taylor 확장이 적용되었습니다. 너무 어렵지는 않지만 다소 기계적입니다.

그러나 결과를 이끌어내는 더 깊은 구조를 노출시키는 다른 Chernoff 바운드 증거가 있습니다. 예를 들어, 종이의 종류로 예시의 방법을 통해 이동 정보 이론적 버전있다 Impagliazzo 및 Kabanets 뿐만 아니라 산조이 다스 굽타 의해이 짧은 포스트 . 이 후자의 증명은 표준 결과의 일반화를 제공한다는 점에서 “직관적”이며 지수의 재미있는 용어가 나오는 곳을 설명합니다 (KL- 분산).

그러한 것들의 좋은 예는 무엇입니까? 보다 구체적으로, 다음 규칙이 있습니다.

성명서는 합리적으로 잘 알려져 있어야합니다 (어떤 종류의 대학원 수업에서 강의 할 내용).

교과서 또는 “일반적으로”가르치는 표준 참고 자료에 “표준”증거가 있어야합니다.

잘 알려지지 않았고, 일반적으로 가르치지 않으며,보다 일반적인 진술을 입증하거나 그 진술을 더 깊은 수학적 구조와 연결시키는 대체 증거가 있어야합니다.

두 가지 예부터 시작하겠습니다.

chernoff 경계
- “교과서”증명 : 마르코프 불평등, 모멘트 생성 기능, 테일러 확장 (MR)
- 흔하지 않고 통찰력있는 증거 : KL- 분산과 관련된 유형의 방법, 꼬리 지수
슈바르츠-지펠 펠레 마
- “교과서”증명 : 단 변량 다항식이 포함 된 기본 사례. 변수 수에 대한 유도
- “흔하지 않은”증거 : Dana Moshkovitz (및 Vognsen ) 를 통한 기하학적 인수

답변 당 하나의 예를 참조하십시오.

ps 나는 반드시 흔한 증거 를 가르쳐야 한다는 것을 암시하는 것은 아닙니다 . 직접적인 증거는 종종 학생들에게 더 쉽습니다. 그러나 “증거가 이해하는 데 도움이된다”는 점에서 이러한 대체 증명은 매우 유용합니다.

답변

나는 교과서에서 “흔하지 않은”증거를 보았 기 때문에 이것이 당신이 찾고있는 것이 확실하지 않지만 퀵 정렬을위한 O (n log n) 시간입니다.

“교과서”증명 : 무작위 재발 관계를 설정하고 원하는 솔루션이 있음을 유도하여 증명합니다.
“흔하지 않은”증거 : 두 요소가 비교 될 확률에 대한 간단한 공식을 찾으십시오 (d는 정렬 된 순서의 순위 간의 차이 인 2 / (d + 1)에 불과 함). 비교할 예상 쌍 수를 계산합니다.

교과서 증명은 창의적 통찰력이 덜 필요하지만, 드문 증거는 다른 알고리즘 분석에 매우 유용한 기법을 소개합니다 (예 : 계산 기하학의 무작위 증분 알고리즘).

답변

BPP가 에 있다는 증거인 복잡성에서 하나를 버리겠습니다 . 교과서 증거 Lautemann 때문에, 단지 적어입니다 표현을하고 간단한 확률 인수와 함께 작동을 보여줍니다. 드문 증명 : 하드 기능 (추측 맞춰, 확인 경도)와 니산-Wigderson 발생기 끼우. $Σ_{2}^{p}$

Σ2피

$\exists \forall$

∃∀

$\exists$

∃

$\forall$

∀

답변

$\sum_{i} a_{i} X_{i}$

∑나는에이나는엑스나는

$\pm 1$

±1

$X_{i}$

엑스나는

$σ = ‖ a ‖_{2}$

σ=”에이”2

$t \geq 2$

티≥2

E ⎡ ⎣ (\sum 나는 에이 나는 엑스 나는) 티 ⎤ ⎦ = \leq = \sum 나는 1, \dots, 나는 티 (\prod j = 1 티 에이 나는 j) E [\prod j = 1 티 엑스 나는 j] \sum 나는 1, \dots, 나는 티 (\prod j = 1 티 | 에이 나는 j |) E [\prod j = 1 티 엑스 나는 j] \sum 나는 1 < \dots < i 엠 아르 자형 1, \dots, r 엠 \sum j 아르 자형 j = t \forall j 개의 R j > 0 (t 아르 자형 1 , \dots , r 엠) (\prod j = 1 엠 | 에이 나는 j | 아르 자형 j) (\prod j = 1 엠 E [X 아르 자형 j 나는 j])

$r_{j}$

아르 자형j

$0$

$1$

$X_{i}$

엑스나는

$G_{i}$

지나는

$r_{j}$

아르 자형j

$0$

$r_{j}$

아르 자형j

$1$

이자형 ⎡ ⎣ (\sum 나는 에이 나는 엑스 나는) 티 ⎤ ⎦ \leq E ⎡ ⎣ (\sum 나는 | 에이 나는 | 지 나는) 티 ⎤ ⎦

$2$

$\sum_{i} | a_{i} | G_{i}$

∑나는|에이나는|지나는

$‖ a ‖_{2}$

”에이”2

$t$

티

$‖ a ‖_{2}^{t} \cdot t! / (2^{t / 2} \cdot (t / 2)!)$

”에이”2티⋅티!/(2티/2⋅(티/2)!)

$‖ a ‖_{2}^{t} t^{t / 2}$

”에이”2티티티/2

P r [∣ ∣ ∣ \sum 나는 에이 나는 엑스 나는 ∣ ∣ ∣ > λ] < 2 O (t) \cdot λ - t \cdot ∥ a ∥ 티 2 티 t / 2

$t = λ^{2} / (C \cdot ‖ a ‖_{2}^{2})$

티=λ2/(기음⋅”에이”22)

$C$

기음

$e x p (- Ω (λ^{2} / ‖ a ‖_{2}^{2}))$

이자형엑스피(−Ω(λ2/”에이”22))

$X_{i}$

엑스나는

답변

$A$

에이

$r_{i}$

아르 자형나는

$i$

나는

$A$

에이

\prod 나는 (r 나는!) 1 / r 나는 .

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