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나는 변수 에 대한 OR 함수 가 다항식 로 정확하게 표현 될 수 있음을 알고 있습니다 :
이며 . $n$

$x_{1}, \dots, x_{n}$

x1,…,xn

$p (x_{1}, \dots, x_{n})$

p(x1,…,xn)

$p (x_{1}, \dots, x_{n}) = 1 - \prod_{i = 1}^{n} (1 - x_{i})$

p(x1,…,xn)=1−∏i=1n(1−xi)

$n$

그러나 $p$

가 OR 함수를 정확하게 나타내는 다항식 인 경우 (그래서 $\forall x \in {0, 1}^{n} : p (x) = ⋁_{i = 1}^{n} x_{i}$

∀x∈{0,1}n:p(x)=⋁i=1nxi

) 다음 $\deg (p) \geq n$

deg⁡(p)≥n

답변

하자 부울 함수이다. 이 다항식 표현되어있는 경우 다음은 multilinear 다항식 표현 갖는다 정도를 : 그냥 전원 교체 , 여기서 의해 . 따라서 우리는 다 선형 다항식에 대한주의를 제한 할 수 있습니다. $f : {0, 1}^{n} \to {0, 1}$

f:{0,1}n→{0,1}

$P$

$Q$

$\deg Q \leq \deg P$

deg⁡Q≤deg⁡P

$x_{i}^{k}$

xik

$k \geq 2$

k≥2

$x_{i}$

주장 : 다항식 ${\prod_{i \in S} x_{i} : S \subseteq [n]}$

{∏i∈Sxi:S⊆[n]}

, 함수 ${0, 1}^{n} \to R$

{0,1}n→R

은 공간의 기초를 형성합니다. 모든 함수 중 ${0, 1}^{n} \to R$

{0,1}n→R

입니다.

증명 : 먼저 다항식이 선형 적으로 독립적이라는 것을 보여줍니다. 모든 대해 이라고 가정하십시오 . 우리는그 . 모든 대해 이라고 가정하십시오. , 카디널리티 의 집합 가 주어 . 모든 대해 이므로 . 여기서 는 의 좌표에서 입력입니다 . $f = \sum_{S} c_{S} \prod_{i \in S} x_{i} = 0$

f=∑ScS∏i∈Sxi=0

$(x_{1}, \dots, x_{n}) \in {0, 1}^{n}$

(x1,…,xn)∈{0,1}n

$| S |$

|S|

$c_{S} = 0$

cS=0

$c_{T} = 0$

cT=0

$| T | < k$

|T|<k

$S$

$k$

$T \subset S$

T⊂S

$c_{T} = 0$

cT=0

$0 = f (1_{S}) = c_{S}$

0=f(1S)=cS

$1_{S}$

$1$

$S$

$◻$

◻

주장은 함수 의 다중 선 표현 이 고유 하다는 것을 보여줍니다 (실제로 는 값일 필요조차 없습니다 ) . OR의 고유 한 다중 표현은 이며 . $f : {0, 1}^{n} \to {0, 1}$

f:{0,1}n→{0,1}

$f$

$0 / 1$

0/1

$1 - \prod_{i} (1 - x_{i})$

1−∏i(1−xi)

$n$

답변

하자 그 모든 다항식하여야 , . 다항식 의 대칭성을 고려하십시오 .
OR 함수는 대칭 부울 함수이므로 , 및 입니다. 이후 의 다항식 비 제로이고, 그것이 갖는 적어도 개의 0, 그 이상의 정도 있어야 . 따라서 도 차수 가져야합니다 . $p$

$x \in {0, 1}^{n}$

x∈{0,1}n

$p (x) = O R (x)$

p(x)=OR(x)

$p$

q (k) = 1 ( n k ) \sum x : | x | = k p (x) .

$k = 1, 2, \dots, n$

k=1,2,…,n

$q (k) = 1$

q(k)=1

$q (0) = 0$

q(0)=0

$q - 1$

q−1

$n$

$p$

$n$

대칭은 종종 대략적인 부울 함수와 양자 쿼리 복잡성의 연구에 사용됩니다. 예를 들어 http://www.math.uwaterloo.ca/~amchilds/teaching/w11/l19.pdf를 참조하십시오 .

답변

유발과 헨리는이 사실에 대한 두 가지 다른 증거를 제시했습니다. 세 번째 증거가 있습니다.

첫째, Yuval의 답변 에서처럼 우리는 다 선형 다항식에 대한 관심을 제한합니다. 이제 OR 함수와 같은 차수 다선 다항식을 이미 표시했습니다 . 이제 우리가 보여줄 필요는이 다항식이 독특하다는 것입니다. 결과적으로 그 차수는 입니다. $n$

$n$

주장 : 두 개의 다 선형 다항식 p와 q가 하이퍼 큐브에서 같으면 어디에서나 동일합니다.

증명 : r (x) = p (x)-q (x)라고하고, 우리는 모든 x에 대해 r (x) = 0임을 알고 있습니다. r (x)가 동일하게 0임을 보여주고 자합니다. 모순을 향해, 그렇지 않다고 가정하고, 최소도를 갖는 0이 아닌 계수로 r에서 모든 단항을 선택하십시오. 이 monomial 외부의 모든 변수를 0으로 설정하고이 monomial의 모든 변수를 1로 설정하십시오. r (x)는이 입력에서 0이 아니지만이 입력은 부울이므로 모순입니다. ${0, 1}^{n}$

{0,1}n

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