두 개의 랜덤 변수 벡터가 있는데, 둘 다 정상입니다. 즉, 및 입니다. 우리는 선형 조합 의 분포에 관심이 있습니다. 여기서 와 는 행렬이고 는 벡터입니다. 경우 및 독립적으로, . 우리는 모든 쌍 의 상관 관계를 알고 있다고 가정하면 의존적 인 경우 입니다. 감사합니다.
X∼N(μX,ΣX)Y∼N(μY,ΣY)
B C X Y Z ~ N ( μ X + B μ Y + C , Σ X A T + B Σ Y B T ) (
Z=AX+BY+CA
B
C
X
Y
Z∼N(AμX+BμY+C,AΣXAT+BΣYBT)
(Xi,Yi)
소원, 이반
답변
이 경우
( 편집 : 의 관절 정규성 가정 ) 그런 다음
및
즉
(X,Y)AX+BY= ( A B ) ( X Y ) AX+BY+C∼ N [ ( A B ) ( μ X μ Y ) + C ,
(XY)∼N[(μXμY),ΣX,Y]
(X,Y)
AX+BY=(AB)(XY)
AX+BY+C∼N [ A μ X +B μ Y +C,A Σ X X A T +B Σ T X Y A T +A Σ X Y B T +B Σ Y Y
AX+BY+C∼N[(AB)(μXμY)+C,(AB)ΣX,Y(ATBT)]
AX+BY+C∼N[AμX+BμY+C,AΣXXAT+BΣXYTAT+AΣXYBT+BΣYYBT]
답변
와 가 공분산 상단 오른쪽 블록 과 함께 분산되어 있다고 가정하지 않는 한 귀하의 질문에는 현재 제기 된 고유 한 답변이 없습니다 . 나는 당신이 X와 Y 사이에 각각의 공분산을 가지고 있다고 말했기 때문에 이것을 의미한다고 생각합니다.이 경우 우리 는 다변량 법선 인 를 쓸 수 있습니다 . 다음 측면에서 주어진 등 :
XY
ΣXY
W=(XT,YT)T
Z
W
Z=(A,B)W+C
그런 다음 일반적인 조합을 선형 조합에 사용합니다. 평균은 변하지 않지만 공분산 행렬에는
AΣXYBT+BΣXYTAT