Johnson-Lindenstrauss의 정리는 대략 에있는 점 의 모음 에 대해 맵 가 존재 한다고 말합니다 여기서 모든 :
측정 항목에
대해 유사한 문장을 사용할 수는 없지만 , 더 값으로 있는 방법이 알려져 있습니다 더 약한 보증을 제공함으로써 한계? 예를 들어, 대해 위의 보조 정리 버전이있을 수 있습니다n R d f : R d → R k k = O ( log n / ϵ 2 ) x , y ∈ S ( 1 − ϵ ) | | f ( x ) − f ( y ) | | 2 ≤ | | x − y | | 2 ≤ ( 1 + ϵ ) |
n
R디
f:Rd→R케이
케이=영형(로그엔/ϵ2)
엑스,와이∈에스
(1−ϵ)||에프(엑스)−에프(와이)||2≤||엑스−와이||2≤(1+ϵ)||에프(엑스)−에프(와이)||2
ℓ1
ℓ1
대부분의 점의 거리 만 보존하겠다고 약속하지만 일부는 임의로 왜곡 될 수 있습니다. “너무 가까운”포인트에 대해 곱셈 보장을하지 않는 것?
답변
이러한 긍정적 인 결과에 대한 표준 참조는 안정적인 분포에 관한 Piotr Indyk의 논문입니다.
http://people.csail.mit.edu/indyk/st-fin.ps
그는위한 치수 감소 방법 도시
ℓ1점 중 어느 한 쌍의 사이의 거리가 증가하지 않는다 (팩터 이상으로
1+ϵ) (계수 이상으로 감소하지 않는 일정한 확률과 거리와
1−ϵ)이 높은 확률로. 임베딩의 차원은 지수입니다
1/ϵ.
내가 알지 못하는 후속 작업이있을 수 있습니다.
답변
ℓ 1 ( “정상적으로 왜곡을 저하시키는 조건”하에서)에 대한 결과 와 일반적인 ℓ p 매립이있는 ” 완벽한 보증이 포함 된 지표 임베딩” 용지를 참조하십시오 .
ℓ1ℓ피 ℓ1
답변
ℓ1
O(n/ϵ)
O(1/(δϵ))
1−δ