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랜덤 변수의 최대 값의 분산에 대한 경계를 찾고 있습니다. 즉, 대한 닫힌 형식 수식을 찾고 있는데 ,

여기서 은 고정입니다 유한 한 랜덤 변수 세트는 및 분산 합니다. $B$

Var (max i X i) \leq B,

$X = {X_{1}, \dots, X_{M}}$

X={X1,…,XM}

$M$

$μ_{1}, \dots, μ_{M}$

μ1,…,μM

$σ_{1}^{2}, \dots, σ_{M}^{2}$

σ12,…,σM2

라고 추론 할 수

Var (max i X i) \leq \sum i σ 2 i,

있지만이 한계는 매우 느슨합니다. 숫자 테스트는 $B = max_{i} σ_{i}^{2}$

B=maxiσi2

가 가능할 수 있음 을 나타내는 것으로 보이지만 이것을 증명할 수는 없습니다. 도움을 주시면 감사하겠습니다.

답변

임의의 임의 변수 의 경우 가장 일반적인 범위는
원래 질문에 명시된대로 입니다. 증명 스케치는 다음과 같습니다. X, Y가 IID이면 입니다. 아마도 종속 변수의 벡터 주어 ,하자 동일한 조인트 분포와 독립적이어야 벡터. 어떤을 위해 , 우리는 바인딩 조합에 의해이 을 에서 통합 하면 청구 된 불평등이 발생합니다. $n$

$X_{i}$

$V a r (max X_{i}) \leq \sum_{i} V a r (X_{i})$

Var(maxXi)≤∑iVar(Xi)

$E [(X - Y)^{2}] = 2 V a r (X)$

E[(X−Y)2]=2Var(X)

$(X_{1}, \dots, X_{n})$

(X1,…,Xn)

$(Y_{1}, \dots, Y_{n})$

(Y1,…,Yn)

$r > 0$

r>0

$P [| max_{i} X_{i} - max_{i} Y_{i} |^{2} > r] \leq \sum_{i} P [| X_{i} - Y_{i} |^{2} > r]$

P[|maxiXi−maxiYi|2>r]≤∑iP[|Xi−Yi|2>r]

$d r$

$0$

$\infty$

∞

경우 확률 사건 IID 지표 다음 확률 이벤트의 지표 인 . 고정 및시키는 제로 경향 우리 얻을 및 . $X_{i}$

$ϵ$

$max X_{i}$

maxXi

$n ϵ + O (n^{2} ϵ^{2})$

nϵ+O(n2ϵ2)

$n$

$ϵ$

$V a r (X_{i}) = ϵ - ϵ^{2}$

Var(Xi)=ϵ−ϵ2

$V a r (max_{i} X_{i}) = n ϵ + O (n^{2} ϵ^{2})$

Var(maxiXi)=nϵ+O(n2ϵ2)

답변

MathOverflow에 대한 질문 은이 질문과 관련이 있습니다.

IID 랜덤 변수의 경우 번째 최고 값을 차수 통계 라고합니다 . $k$

IID Bernoulli 랜덤 변수의 경우에도 중앙값 이외의 순서 통계량의 분산은 모집단의 분산보다 클 수 있습니다. 예를 들어, 있다 확률 및 확률 및 인 경우, 최대는 확률 인구의 편차가 있으므로, 분산하면서 최대 값은 약 입니다. $X_{i}$

$1$

$1 / 10$

1/10

$0$

$9 / 10$

9/10

$M = 10$

M=10

$1$

$\approx 1 - 1 / e$

≈1−1/e

$0.09$

0.09

$0.23$

0.23

다음은 주문 통계의 차이에 대한 두 가지 논문입니다.

Yang, H. (1982) “중앙값과 다른 순서 통계의 차이” 황소. Inst. 수학. 아카데 시니카, 10 (2) pp. 197-204

Papadatos, N. (1995) “주문 통계의 최대 분산” 앤 Inst. 통계 학자. 수학, 47 (1) pp. 185-193

두 번째 논문에서 최대의 분산에 대한 상한은 합니다. 그들은 평등이 발생할 수는 없지만 IID Bernoulli 랜덤 변수에 대해서는 더 낮은 값이 발생할 수 있다고 지적합니다. $M σ^{2}$

Mσ2

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표본 최대 값의 분산은 얼마입니까? ldots, X_M \} 은 고정입니다

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