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된 그래프 주어 $G = (U \cup V, E)$

G=(U∪V,E)

포지티브 가중치하자 와 그래프에서 최대 가중치 매칭 동일 $f : 2^{U} \to R$

f:2U→R

$f (S)$

f(S)

$G [S \cup V]$

G[S∪V]

$f$

가 하위 모듈 함수 라는 것이 사실 입니까?

답변

정의 . 주어진 유한 세트 경우, 설정된 함수 은 대해 하위 모듈 식 입니다.
$A$

$f : 2^{A} \to R$

f:2A→R

$X, Y \subseteq A$

X,Y⊆A

에프 (X) + f (Y) \geq f (X \cup Y) + f (X \cap Y) .

Lemma 양의 간선 가중치를
갖는 이분 그래프 가 주어지면 를 의 최대 중량 일치 값에 매핑하는 함수로 설정합니다 . 그런 다음 는 하위 모듈입니다. $G = (A \cup B, E)$

G=(A∪B,E)

$f : 2^{A} \to R^{+}$

f:2A→R+

$S \subseteq A$

S⊆A

$G [S \cup B]$

G[S∪B]

$f$

증명.
두 세트 수정 하고 및 그래프 및 대해 두 개의 일치로 설정하십시오 . 보조 정리를 증명하기가의 가장자리를 분할 할 수 있음을 보여주기에 충분하다 및 두 개의 분리 된의 matchings에 와 $X, Y \subseteq A$

X,Y⊆A

$M_{\cap}$

M∩

$M_{\cup}$

M∪

$G [(X \cap Y) \cup B]$

G[(X∩Y)∪B]

$G [(X \cup Y) \cup B]$

G[(X∪Y)∪B]

$M_{\cap}$

M∩

$M_{\cup}$

M∪

$M_{X}$

$M_{Y}$

그래프 및 각각에 대해. $G [X \cup B]$

G[X∪B]

$G [Y \cup B]$

G[Y∪B]

가장자리 및 교호 경로와 사이클의 컬렉션을 형성한다. 하자 이 컬렉션을 표시하고 전혀주기를 관찰 에서 정점을 포함하지 않는 또는 . 이것은 이 그 정점과 일치하지 않기 때문에 유지 됩니다. $M_{\cap}$

M∩

$M_{\cup}$

M∪

$C$

$X ∖ Y$

X∖Y

$Y ∖ X$

Y∖X

$M_{\cap}$

M∩

하자 있는 경로들의 집합 에 적어도 하나 개의 꼭지점 $P_{X}$

$C$

$X ∖ Y$

X∖Y

및하자 있는 경로들의 집합 에 적어도 하나 개의 꼭지점과 . 이러한 두 가지 경로가 아래 그림에 나와 있습니다. $P_{Y}$

$C$

$Y ∖ X$

Y∖X

청구 1.
. $P_{X} \cap P_{Y} = \emptyset$

PX∩PY=∅

경로가 존재한다고 가정 모순 . 하자 의 정점이 될 경로에 유사하게 의 정점이 될 경로에 . 그 때문에도 관찰 나 에 , 경로 처음이나 마지막 에지에 속하거나, 심지어 길이를 가지고 있으며 교대로하기 때문에 $P \in P_{X} \cap P_{Y}$

P∈PX∩PY

$x$

$X ∖ Y$

X∖Y

$P$

$y$

$Y ∖ X$

Y∖X

$P$

$x$

$y$

에 속한다 가 일치 속하지 않는 정의하여, 따라서 이들은 경로의 끝점이다 . 또한, 와 $X \cap Y$

X∩Y

$M_{\cap}$

M∩

$P$

$x$

$y$

$A$

$P$

. 따라서 는 또는 와 일치하여 정의와 모순되고 주장을 증명합니다. $M_{\cap}$

M∩

$M_{\cap}$

M∩

$x$

$y$

하자

및
그리고

M X = (P X \cap M \cup) \cup ((C ∖ P X) \cap M \cap)

M Y = (P X \cap M \cap) \cup ((C ∖ P X) \cap M \cup) .

그것은 분명 그 $M_{X} \cup M_{Y} = M_{\cap} \cup M_{\cup}$

MX∪MY=M∩∪M∪

$M_{X} \cap M_{Y} = M_{\cap} \cap M_{\cup}$

MX∩MY=M∩∩M∪

. 정리를 증명하기 위해, 및 가 각각 및 대해 유효한 일치 임을 보여줍니다 . 있는지 보낸 교차하지 제 1 및 교차하지 정의. 따라서 는 꼭짓점 만 사용합니다. $M_{X}$

$M_{Y}$

$G [X \cup B]$

G[X∪B]

$G [Y \cup B]$

G[Y∪B]

$M_{X}$

위한 유효한 matchings 인 어떠한 버텍스 있다는 것을 처음 관찰 일치되지 $G [X \cup B]$

G[X∪B]

$Y ∖ X$

Y∖X

$M_{X}$

$P_{X}$

$Y ∖ X$

Y∖X

$M_{\cap}$

M∩

$Y ∖ X$

Y∖X

$M_{X}$

$X \cup B$

X∪B

. 둘째, 모든 정점 는 의 최대 한 모서리와 일치 한다는 점을 관찰하십시오. 그렇지 않으면 대한 유효한 일치입니다 . 그것을 보여주는 $x \in X$

x∈X

$M_{X}$

하나의 두 에지들에 속하는 또는 두 에지 정의 모순. 이것은 $x$

$M_{\cup}$

M∪

$M_{\cap}$

M∩

$M_{X}$

$G [X \cup B]$

G[X∪B]

가 대한 유효한 일치. $M_{Y}$

$G [Y \cup B]$

G[Y∪B]

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