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문제가 있습니다 :

min w \in R d (1 n \sum i = 1 n (⟨ w, x i ⟩ - y i) 2 + 2 λ | | w | | 1),

\sum i = 1 n x i x T i = diag (σ 21, . . ., σ 2 d) .

이 경우 폐쇄 형 솔루션이 있습니까?

나는 그것을 가지고있다 :

(X T X) - 1 = diag (σ - 2 1, . . ., σ - 2 d),

그래서 대답은 :

w j = y j max {0, 1 - λ n | y j |},

에 대한 $y^{j} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{y_{i} x_{i}^{j}}{σ_{i}^{2}}$

yj=∑i=1nyixijσi2

하지만 확실하지 않습니다.

답변

나는 때 폐쇄 된 형태의 올가미 솔루션의 추기경의 유도 @ 통과거야 $X^{T} X = I$

XTX=I

발견 여기에 약간의 수정과 함께.

모든 대해 이라고 가정합니다 . 우리가 을 가지고 있다면 이것은 의 번째 열 이 모두 0 이라는 것을 알려주기 때문에 그런 경우를 제외하는 것이 합리적이라고 생각합니다. 하겠습니다 . 이것은 또한 가 전체 순위이고 OLS 솔루션 가 고유하게 정의 됨을 의미합니다 . $σ_{i}^{2} > 0$

σi2>0

$i$

$σ_{i}^{2} = 0$

σi2=0

$i$

$X$

$X^{T} X = D$

XTX=D

$X$

$\hat{β}$

β^

또한 내가 참조하고있는 답변에서 더 잘 일치하도록 표기법을 수정하려고합니다. 이를 위해

β^λ = argmin β \in R p 1 2 | | Y - X β | | 22 + λ | | β | | 1 .

이것은 귀하의 문제와 동일하지만 원하는 경우 여기에 더 자세한 내용을 추가 할 수 있습니다.

의 파생에 이어, 우리는

β^λ = argmin 1 2 (Y T Y - 2 Y T X β + β T X T X β) + λ | | β | | 1

= argmin - Y T X β + 1 2 β T D β + λ | | β | | 1 .

OLS 솔루션은 이므로
$\hat{β} = (X^{T} X)^{- 1} X^{T} Y = D^{- 1} X^{T} Y$

β^=(XTX)−1XTY=D−1XTY

β^λ = argmin - β^T D β + 1 2 β T D β + λ | | β | | 1

= argmin \sum j = 1 p - β^j β j σ 2 j + σ 2 j 2 β 2 j + λ | β j | .

각 개별적 으로 최적화 합계의 각 항을 개별적으로 해결할 수 있습니다. 이것은 우리가 를 최소화해야한다는 것을 의미합니다. 여기서
$β_{j}$

βj

$L_{j}$

L j = - β^j β j σ 2 j + σ 2 j 2 β 2 j + λ | β j | .

링크 된 답변에 대한 완전한 분석적 주장에 따르면, 우리는

(β^λ) j = s g n (β^j) (| β^j | - λ σ 2 j) + .

또한, 그래서
$\hat{β} = D^{- 1} X^{T} Y ⟹ {\hat{β}}_{j} = \frac{X_{j}^{T} Y}{σ_{j}^{2}}$

β^=D−1XTY⟹β^j=XjTYσj2

(| β^j | - λ σ 2 j) + = 1 σ 2 j (| X T j Y | - λ) +

따라서 예측 행렬 는 설계 행렬이 직교가 아닌 직교 정규형 일 때 정확히 0으로 표시됩니다. 따라서이 경우 인 경우 변수 선택은 인 경우와 다르지 않지만 실제 계수 는 예측 변수 분산에 따라 조정됩니다. $X_{j}$

$X^{T} X = D \neq I$

XTX=D≠I

$X^{T} X = I$

XTX=I

${\hat{β}}_{λ}$

β^λ

마지막으로이 솔루션을 여러분의 것과 유사한 솔루션으로 바꾸겠습니다. 이는 에 를 얻기 위해 무언가를 곱해야한다는 것을 의미합니다 . 경우 다음 우리가 그
$\hat{β}$

β^

${\hat{β}}_{λ}$

β^λ

$({\hat{β}}_{λ})_{j} \neq 0$

(β^λ)j≠0

(β^λ) j = sgn (β^j) (| β^j | - λ σ 2 j) = β^j - sgn (β^j) λ σ 2 j

= β^j ⎛ ⎝ 1 - λ σ 2 j | β ^ j | ⎞ ⎠

이후 . $\frac{a}{| a |} = sgn (a)$

a|a|=sgn(a)

것을주의 정확하게
$({\hat{β}}_{λ})_{j} = 0$

(β^λ)j=0

| β^j | - λ σ 2 j \leq 0 ⟺ | β^j | \leq λ σ 2 j ⟺ 1 \leq λ σ 2 j | β ^ j | ⟺ 1 - λ σ 2 j | β ^ j | \leq 0,

우리는 다르게 표현할 수있는 것을 알 등
${\hat{β}}_{λ}$

β^λ

(β^λ) j = β^j ⎛ ⎝ 1 - λ σ 2 j | β ^ j | ⎞ ⎠ + .

그래서 이것은 당신이 가진 것과 매우 가깝지만 정확히 동일하지는 않습니다.

가능한 경우 잘 알려진 라이브러리에 대해 이와 같은 파생을 항상 확인하고 싶습니다. 그래서 R의 예는 다음과 같습니다.

## generating `x`
set.seed(1)
n = 1000
p = 5
sigma2s = 1:p
x = svd(matrix(rnorm(n * p), n, p))$u %*% diag(sqrt(sigma2s))

## check this
# t(x) %*% x

## generating `y`
betas = 1:p
y = x %*% betas + rnorm(nrow(x), 0, .5)

lambda = 2

## using a well-known library to fit lasso
library(penalized)
penalized(y, x, lambda1 = lambda)@penalized


## using closed form solution
betahat = lm(y ~ x - 1)$coef
ifelse(betahat > 0, 1, -1) * sapply(abs(betahat) - lambda / sigma2s, function(v) max(c(0, v)))

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데이터 행렬이 대각선 일 때 올가미 문제에 대한 닫힌 양식 솔루션 \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \left( \langle

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