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두 시계열 간의 공적분을 테스트하려고합니다. 두 시리즈 모두 ~ 3 년에 걸친 주간 데이터를 가지고 있습니다.

Engle-Granger Two Step Method를 시도하고 있습니다. 내 작업 순서는 다음과 같습니다.

Augmented Dickey-Fuller를 통해 각 시계열에 단위 루트를 테스트합니다.
둘 다 단위 루트가 있다고 가정하면 OLS를 통해 관계의 선형 근사를 찾으십시오. 그런 다음 일련의 잔차를 만듭니다.
Augmented Dickey-Fuller를 통해 단위근의 잔차를 테스트합니다.
3의 결과로 공적분을 결론 짓습니다.

질문 :

이 방법은 괜찮습니까? (저는 학부생이며, 가장 엄격한 방법으로 데이터를 분석 할 필요는없는 합법적 인 방식으로 데이터를 분석하려고합니다.)
1 단계에서 하나의 계열 이 ADF를 사용한 귀무 가설을 기각 ~~할 수없고~~ (따라서 단위근이없는 경우), 하나의 데이터 세트가 비정상적이기 때문에 두 계열이 함께 적분되지 않았다고 결론을 내릴 수 있습니까? 나는 그렇게 생각하지 않지만 확신하고 싶습니다.
두 데이터 세트 모두 “확률 적”으로 보이므로 잔차를 얻기 위해 OLS를 사용하여 관계를 측정하는 것이 적절한 지 궁금합니다.

답변

우선 두 시계열 및 를 고려하십시오. 두 시계열 은 모두 . 즉 두 시리즈는 모두 단위근을 포함합니다. 이들 두 시리즈는 계수가 존재할 경우 융합체 (cointegrate) 와 같은 것을 :
$x_{1 t}$

x1t

$x_{2 t}$

x2t

$I (1)$

I(1)

$μ$

$β_{2}$

β2

$x_{1 t} = μ + β_{2} x_{2 t} + u_{t} (1)$

x1t=μ+β2x2t+ut(1)

평형을 정의합니다. Engle-Granger 2 단계 접근법을 사용하여 공적분을 테스트하기 위해

1) 단위 루트에 대해 및 계열을 테스트합니다 . 둘 다 이면 2) 단계로 진행하십시오. $x_{1 t}$

x1t

$x_{2 t}$

x2t

$I (1)$

I(1)

2) 상기 정의 된 회귀 식을 실행하여 잔차 저장. 새로운“오류 수정”용어 인 합니다. ${\hat{u}}_{t} = {\hat{e c m}}_{t}$

u^t=ecm^t

3) 단위근 의 잔차 ( )를 테스트합니다 . 귀무 가설 하에서 잔차가 고정적이지 않기 때문에이 테스트는 비 적분에 대한 테스트와 동일합니다. 그러나 공적분이있는 경우 잔차가 고정되어 있어야합니다. 잔차 기반 ADF- 검정의 분포는 일반적인 DF 분포와 동일하지 않으며 정적 회귀 분석의 변수를 추가하면 DF 분포가 왼쪽. 정적 회귀 분석에서 상수 및 추세를 갖는 하나의 추정 된 모수에 대한 5 % 임계 값은 각각 -3.34 및 -3.78입니다.
${\hat{e c m}}_{t}$

ecm^t

4) 잔차에서 단위 루트의 널을 거부하는 경우 (비 적분 없음) 두 변수가 함께 적분되는 것을 거부 할 수 없습니다.

5) 오류 수정 모델을 설정하고 두 시리즈 간의 장기 관계를 조사하려면 Engle-에 작은 샘플 바이어스가 첨부되어 있기 때문에 대신 ADL 또는 ECM 모델을 설정하는 것이 좋습니다. Granger 정적 회귀 및 분포는 알 수없는 매개 변수에 의존하기 때문에 정적 회귀 분석에서 추정 된 매개 변수의 중요성에 대해 아무 말도 할 수 없습니다. 잔차 기반 테스트 임계 값이 일반적인 ADF 테스트 임계 값과 동일하지 않다는 것을 지적하고 싶었습니다.

(2) 시리즈 중 하나가 정지 즉, 이고 다른 하나가 경우 공적분은 공통 확률 론적 경향을 공유하고 선형이라는 것을 암시하므로 공적분 할 수 없습니다. 확률 적 경향이 상쇄되어 정지 관계를 생성하기 때문에 그들 사이의 관계는 정지된다. 이 두 방정식을 고려 보려면 :
$I (0)$

I(0)

$I (1)$

I(1)

$x_{1 t} = μ + β_{2} x_{2 t} + ε_{1 t} (2)$

x1t=μ+β2x2t+ε1t(2)

$Δ x_{2 t} = ε_{2 t} (3)$

Δx2t=ε2t(3)

참고 , , , , $ε_{2 t} \sim i . i . d .$

ε2t∼i.i.d.

$x_{1 t} \sim I (1)$

x1t∼I(1)

$x_{2 t} \sim I (1)$

x2t∼I(1)

$u_{t} = β' x_{t} \sim I (0)$

ut=β′xt∼I(0)

$ε_{1 t} \sim i . i . d .$

ε1t∼i.i.d.

먼저 우리는 방정식에 대한 해결 와 GET
$(3)$

(3)

$x_{2 t} = x_{0} + \sum_{i = 0}^{t} ε_{2 i}$

x2t=x0+∑i=0tε2i

방정식에이 솔루션을 연결 얻기를 :
$(2)$

(2)

$x_{1 t} = μ + β_{2} {x_{0} + \sum_{i = 0}^{t} ε_{2 i}} + ε_{1 t} x_{1 t} = μ + β_{2} x_{0} + β_{2} \sum_{i = 0}^{t} ε_{2 i} + ε_{1 t}$

x1t=μ+β2{x0+∑i=0tε2i}+ε1tx1t=μ+β2x0+β2∑i=0tε2i+ε1t

우리는 두 시리즈에서 공통 확률 론적 추세를 공유한다는 것을 알 수 있습니다. 우리는 다음 공적분 벡터를 정의 할 수 있습니다 그러한 :
$β = (1 - β_{2})'$

β=(1−β2)′

$u_{t} = β' x_{t} = (1 - β_{2}) (\begin{matrix} μ + β_{2} x_{0} + β_{2} \sum_{i = 0}^{t} ε_{2 i} + ε_{1 t} \\ x_{0} + \sum_{i = 0}^{t} ε_{2 i} \end{matrix})$

ut=β′xt=(1−β2)(μ+β2x0+β2∑i=0tε2i+ε1tx0+∑i=0tε2i)

$u_{t} = β' x_{t} = μ + β_{2} x_{0} + β_{2} \sum_{i = 0}^{t} ε_{2 i} + ε_{1 t} - β_{2} x_{0} - β_{2} \sum_{i = 0}^{t} ε_{2 i}$

ut=β′xt=μ+β2x0+β2∑i=0tε2i+ε1t−β2x0−β2∑i=0tε2i

$u_{t} = β' x_{t} = μ + ε_{1 t}$

ut=β′xt=μ+ε1t

우리는 올바른 공적분 벡터를 정의함으로써 두 확률 론적 경향이 상쇄되고 그들 사이의 관계는 고정적임을 알 수있다 ( ). 경우 했다 에서 다음 확률 적 추세 공적분 관계를 정의하여 삭제되지 않습니다. 따라서 네 시리즈 모두 이어야합니다 !
$u_{t} = β' x_{t} \sim I (0)$

ut=β′xt∼I(0)

$x_{1 t}$

x1t

$I (0)$

I(0)

$x_{2 t}$

x2t

$I (1)$

I(1)

(3) 마지막 질문. 예 OLS는 정적 회귀에 대한 OLS 추정기 (Eq. )가 매우 일관됨 ( 에서 분산이 0으로 수렴 )을 보여줄 수 있기 때문에 두 확률 론적 시리즈에서 사용할 수 있습니다. ) 두 계열이 때와 두 계열이 함께 통합 될 때. 따라서 공적분을 발견하고 계열이 이면 추정치가 매우 일관됩니다. 공적분을 찾지 못하면 정적 회귀가 일관되지 않습니다. 자세한 내용은 Engle and Granger, 1987, 공동 통합, 오류 수정 : 표현, 추정 및 테스트의 주요 논문을 참조하십시오. $(1)$

(1)

$T^{- 2}$

T−2

$I (1)$

I(1)

$I (1)$

I(1)

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