체인을 병렬로 실행하십시오. 결과 제품 체인에서 3 가지 흡수 상태를 정의하십시오.

1. 첫 번째 사슬은 흡수 상태에 도달하지만 두 번째 사슬은 흡수되지 않습니다.

2. 두 번째 체인은 흡수 상태에 도달하지만 첫 번째 체인은 흡수되지 않습니다.

3. 두 체인 모두 동시에 흡수 상태에 도달합니다.

제품 체인에서이 세 가지 상태의 제한 확률은 관심의 기회를 제공합니다.

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이 솔루션에는 일부 간단한 구조가 포함됩니다. 질문에서와 같이P =피나는 j, 1 ≤ i , j ≤ n

P=Pij,1≤i,j≤n

체인의 전이 행렬 피

P

. 체인이 상태 일 때나는

i

, 피나는 j

Pij

상태로의 전환 확률을 제공 제이

j

. 흡수 상태 확률로 그 자체로 전환 할1

1

.

1. 어떤 주 나는
   i
   줄을 대체 할 때 흡수 될 수 있습니다피나는= (피나는 j, j = 1 , 2 , … , n ) Pi=(Pij,j=1,2,…,n)
   지표 벡터에 의한 것 ( 0 , 0 , … , 0 , 1 , 0 , … , 0 ) (0,0,…,0,1,0,…,0)
   와 1 1
   위치에 나는 i
   .

2. 어떤 세트 ㅏ

   A

   새로운 사슬을 만들어 흡수 상태의 합병피/ A

   P/A

   누구의 주가 {i|i∉A}∪{A}

   {i|i∉A}∪{A}

   . 전이 행렬은

   (P/A)ij=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪Pij∑k∈APik01i∉A,j∉Ai∉A,j=Ai=A,j∉Ai=j=A. (P/A)ij={Piji∉A,j∉A∑k∈APiki∉A,j=A0i=A,j∉A1i=j=A.

   이것은 열을 합산하는 것입니다. P

   P

   에 해당하는 A

   A

   행을 교체하면 A

   A

   자체로 전환하는 단일 행으로.

3. 두 체인 의 제품P

   P

   주에서 SP

   SP

   과 Q

   Q

   주에서 SQ

   SQ

   전이 행렬과 함께 P

   P

   과 Q

   Q

   각각 국가의 마르코프 체인입니다 SP×SQ={(p,q)|p∈SP,q∈SQ}

   SP×SQ={(p,q)|p∈SP,q∈SQ}

   전이 행렬로

   (P⊗Q)(i,j),(k,l)=PikQjl. (P⊗Q)(i,j),(k,l)=PikQjl.

   실제로, 제품 체인은 두 체인을 병렬로 실행하여 각각의 위치를 ​​개별적으로 추적하고 독립적으로 전환합니다.

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간단한 예가 이러한 구성을 명확히 할 수 있습니다. 폴리가 기회를 가지고 동전을 뒤집고 있다고 가정하자p

p

착륙장 그녀는 머리를 관찰 할 때까지 그렇게 할 계획입니다. 동전 뒤집기 과정의 상태는SP={T,H}

SP={T,H}

가장 최근 플립 결과를 나타냅니다. T

T

꼬리를 위해 H

H

머리를 위해. 폴리 (Poly)는 선두에 서서 계획함으로써 첫 번째 시공을H

H

흡수 상태. 결과 전이 행렬은

그것은 임의의 상태에서 시작 (1−p,p)

(1−p,p)

첫 번째 던지기에 의해 주어진.

폴리와 함께, 퀸시는 공정한 동전을 던질 것입니다. 그는 두 개의 머리를 연속으로보고 난 후에 멈출 계획이다. 따라서 Markov 체인은 현재 결과뿐만 아니라 이전 결과를 추적해야합니다. 두 개의 머리와 두 개의 꼬리의 네 가지 조합이 있습니다.TH

TH

예를 들어 첫 번째 문자는 이전 결과이고 두 번째 문자는 현재 결과입니다. Quincy는 건설 (1)을 적용하여HH

HH

흡수 상태. 그렇게 한 후, 그는 실제로 네 가지 상태가 필요하지 않다는 것을 알고 있습니다. 그는 체인을 세 가지 상태로 단순화 할 수 있습니다.T

T

현재 결과가 꼬리임을 의미합니다. H

H

현재 결과가 머리임을 의미하며 X

X

마지막 두 결과는 두 가지 모두를 의미합니다. 이것은 흡수 상태입니다. 전이 행렬은

제품 체인은 6 가지 상태에서 실행됩니다. (T,T),(T,H),(T,X);(H,T),(H,H),(H,X)

(T,T),(T,H),(T,X);(H,T),(H,H),(H,X)

. 전이 매트릭스 A는 텐서 생성물 의P

P

과 Q

Q

쉽게 계산됩니다. 예를 들어(P⊗Q)(T,T),(T,H)

(P⊗Q)(T,T),(T,H)

폴리가 T

T

에 T

T

그리고 동시에 (그리고 독립적으로) Quincy는 T

T

에 H

H

. 전자는 기회가1−p

1−p

후자는 1/2

1/2

. 체인이 독립적으로 실행되기 때문에 그 가능성은 배가되어(1−p)/2

(1−p)/2

. 전체 전이 행렬은

두 번째 행렬에 해당하는 블록이있는 블록 행렬 형식입니다. Q

Q

:

폴리와 퀸시는 누가 먼저 목표를 달성 할 수 있는지 경쟁합니다. 승자가 처음으로 전환 될 때마다 승자가 폴리가됩니다.(H,*)

(H,*)

어디 *

*

아니다 X

X

; 승자가 처음 전환 될 때마다 우승자가 Quincy가됩니다.(T,X)

(T,X)

; 그 중 하나가 발생하기 전에 전환이 이루어지면(H,X)

(H,X)

결과는 추첨이됩니다. 추적하기 위해, 우리는 상태를 만들 것입니다(H,T)

(H,T)

과 (H,H)

(H,H)

(건설 (1)을 통해) 흡수 한 다음 (건설 (2)를 통해) 병합하십시오. 상태별로 정렬 된 결과 전이 행렬(T,T),(T,H),(T,X),{(H,T),(H,H)},(H,X)

(T,T),(T,H),(T,X),{(H,T),(H,H)},(H,X)

이다

폴리와 퀸시의 동시 첫 투구 결과는 주가 될 것이다 (T,T),(T,H),(T,X),{(H,T),(H,H)},(H,X)

(T,T),(T,H),(T,X),{(H,T),(H,H)},(H,X)

확률로 μ=((1−p)/2,(1−p)/2,0,p,0)

μ=((1−p)/2,(1−p)/2,0,p,0)

, 각각 : 체인을 시작하는 초기 상태입니다.

한도에서 n→∞

n→∞

,

따라서 세 가지 흡수 상태의 상대 확률 (T,X),{(H,T),(H,H)},(H,X)

(T,X),{(H,T),(H,H)},(H,X)

(퀸시 승리, 폴리 승리, 대표) (1−p)2:p(5−p):p(1−p)

(1−p)2:p(5−p):p(1−p)

.

의 기능으로 p

p

(폴리의 던지기 중 하나가 머리가 될 확률), 빨간색 곡선은 폴리의 우승 확률을 나타내고, 파란색 곡선은 퀸시의 우승 확률을 나타내며, 금색 곡선은 무승부 확률을 나타냅니다.

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