기초 대칭 다항식의 모노톤 산술 회로의 복잡성? st 경로의 합입니다). 이미 40 년

$k$

번째 기본 대칭 다항식 $S_{k}^{n} (x_{1}, \dots, x_{n})$

Skn(x1,…,xn)

모두의 합 의 제품 구별 변수. 이 다항식 의 모노톤 산술 회로 복잡성에 관심이 있습니다. 간단한 동적 프로그래밍 알고리즘 (아래 그림 1)은 게이트 가있는 회로를 제공합니다 . $(\binom{n}{k})$

(nk)

$k$

$(+, \times)$

(+,×)

$(+, \times)$

(+,×)

$O (k n)$

O(kn)

질문 :
하한이 알려져 있습니까?
$Ω (k n)$
Ω(kn)

회로는 스큐 각 제품 게이트의 두 입력들 중 적어도 하나가 가변 인 경우. 이러한 회로는 실제로 스위칭 및 정류 네트워크와 동일합니다 (변수로 레이블이 지정된 일부 모서리가있는 방향성 비순환 그래프. 각 st 경로는 해당 레이블의 곱을 제공하며 출력은 모든 st 경로의 합입니다). 이미 40 년 전에 Markov는 놀라 울 정도로 엄격한 결과를 입증했습니다. 의 최소 모노톤 산술 스큐 회로 에는 정확히 제품 게이트가 있습니다. 상부 경계는도 1을 따른다. :
$(+, \times)$

(+,×)

$S_{k}^{n}$

Skn

$k (n - k + 1)$

k(n−k+1)

그러나 비 왜곡 회로에 대한 그러한 하한을 증명하려는 시도는 보지 못했습니다. 이것이 우리의 “오만”인가, 아니면 그 과정에서 내재 된 어려움이 있습니까?

추신 : 나는 모든 을 동시에 계산하려면 게이트가 필요 하다는 것을 알고 있습니다. 이것은 0-1 입력을 분류하는 모노톤 부울 회로의 크기에 대한 하한선에 따릅니다. Ingo Wegener의 158 페이지를 참조하십시오 . AKS 정렬 네트워크는 또한 암시 게이트이 (부울) 경우에 충분하다. 사실, Baur와 Strassen 은 대한 비 모노톤 산술 회로 의 크기에 대해 밀접한 을 증명했습니다 . 그러나 모노톤 산술 회로는 어떻습니까? $Ω (n \log n)$

Ω(nlog⁡n)

$S_{1}^{n}, \dots, S_{n}^{n}$

S1n,…,Snn

$O (n \log n)$

O(nlog⁡n)

$Θ (n \log n)$

Θ(nlog⁡n)

$S_{n / 2}^{n}$

Sn/2n

답변

하나의 문제는 당신이 “모노톤”제한을 제거하는 경우, 우리는 것입니다 않습니다 효율적으로 그런 일을 계산하는 방법을 알고있다. FFT 기반 다항식 곱셈을 사용하여 시간 으로 모든 (모든 기본 대칭 다항식 평가) 의 값을 계산할 수 있습니다 . 따라서 모노톤 회로 모델에서 하한을 증명하려면 다항식 곱셈에 하한을 증명해야합니다 . $S_{0}^{n}, \dots, S_{n}^{n}$

S0n,…,Snn

$n + 1$

n+1

$O (n \log^{2} n)$

O(nlog2⁡n)

$Ω (n k)$

Ω(nk)

$Ω (n^{2})$

Ω(n2)

방법은 다음과 같습니다. 공식적인 미지수 소개 하고 다항식을 고려하십시오 $y$

P (y) = \prod i = 1 n (1 + x i y) .

노트는 이후 것을 의 알려진 상수이며, 이것은 미지와 변량 다항식 및 정도 . 지금 당신은 계수주의 할 에서 정확히 모든 평가하기 때문에, , 그것은 계산하기에 충분 . $x_{i}$

$y$

$n$

$y^{k}$

$P (y)$

P(y)

$S_{k}^{n}$

Skn

$S_{0}^{n}, \dots, S_{n}^{n}$

S0n,…,Snn

$P (y)$

P(y)

이로써 계산하게 에서의 과 다항식의 균형 잡힌 바이너리 트리를 구축 시간 : 잎에서 s ‘를하고 번성 다항식. 도 두 다항식 곱 소요 우리가 재발 얻을 수 있도록, FFT 기술을 사용하여 시간 , 어느로 해결할 입니다. 편의상 요소를 무시하고 있습니다. $P (y)$

P(y)

$O (n \lg^{2} n)$

O(nlg2⁡n)

$(1 + x_{i} y)$

(1+xiy)

$d$

$O (d \lg d)$

O(dlg⁡d)

$T (n) = 2 T (n / 2) + O (n \lg n)$

T(n)=2T(n/2)+O(nlg⁡n)

$T (n) = O (n \lg^{2} n)$

T(n)=O(nlg2⁡n)

$poly (\lg \lg n)$

poly(lg⁡lg⁡n)

당신이 사건에 대해 걱정하는 경우 아주 작은, 당신은 계산할 수 에서 만 걱정하는 것을 염두에두고, 비슷한 트릭을 사용하여 시간 (즉, 모든 조건을 버리고 또는 높은 전력 ). $k$

$S_{0}^{n}, \dots, S_{k}^{n}$

S0n,…,Skn

$O (n \lg^{2} k)$

O(nlg2⁡k)

$P (x) mod y^{k + 1}$

P(x)modyk+1

$y^{k + 1}$

yk+1

$y$

물론 FFT는 빼기를 사용하므로 순전히 모노톤 회로에서는 표현할 수 없습니다. 다항식에 모노톤 산술 회로를 효율적으로 곱하는 다른 방법이 있는지 모르겠지만, 다항식 곱셈을위한 효율적인 모노톤 방법은 즉시 문제의 알고리즘으로 이어집니다. 따라서 문제의 하한에는 다항식 곱셈의 하한이 필요합니다.

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