이 문제에 접근하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 데이터의 래스터 형식은 래스터 기반 접근법을 제안합니다. 이러한 접근법을 검토 할 때, 이진 정수 선형 프로그램 으로서의 문제의 공식화 는 유망한 것으로 보인다. 왜냐하면 그것은 많은 GIS 사이트 선택 분석의 정신에 매우 가깝고 쉽게 적용 할 수 있기 때문이다.

이 공식에서는 필링 다각형의 가능한 모든 위치와 방향을 열거합니다. 필자는 “타일”이라고 부릅니다. 각 타일과 관련된 것은 “좋은 점”의 척도입니다. 목표는 총 양호도가 가능한 겹치지 않는 타일 모음을 찾는 것입니다. 여기서 우리는 각 타일의 장점을 커버하는 영역으로 취할 수 있습니다. (데이터가 풍부하고 정교한 의사 결정 환경에서는 각 타일에 포함 된 셀의 속성, 가시성과 관련된 속성, 다른 것들과의 근접성 등의 조합으로 장점을 계산할 수 있습니다.)

이 문제에 대한 제약은 솔루션 내의 두 타일이 겹치지 않아야한다는 것입니다.

이것은 채워질 다각형 ( “영역”) 1, 2, …, M 의 셀을 열거함으로써 효율적인 계산에 도움이되는 방식으로 좀 더 추상적 으로 짜여 질 수 있습니다 . 모든 타일 배치는 0과 1 의 표시기 벡터 로 인코딩 될 수 있으며, 타일 벡터가 다른 셀에 해당하는 셀과 일치하도록합니다. 이 인코딩에서 타일 모음에 필요한 모든 정보 는 표시기 벡터를 평소와 같이 구성 요소 별로 합산 하여 찾을 수 있습니다 . 하나 이상의 타일이 셀을 덮는 위치에서 합계는 0이 아니며 합계는 더 큽니다. 둘 이상의 타일이 겹치는 위치보다 합계는 효과적으로 중복 정도를 계산합니다.

하나의 작은 추상화 : 가능한 타일 배치 세트 자체를 열거 할 수 있습니다 (예 : 1, 2, …, N) . 타일 ​​배치 세트 자체의 선택은 배치 할 타일을 지정하는 지표 벡터에 해당합니다.

아이디어를 수정하는 작은 그림이 있습니다. 계산을 수행하는 데 사용되는 Mathematica 코드 가 함께 제공 되므로 프로그래밍 어려움 (또는 그 부족)을 알 수 있습니다.

먼저 타일링 할 영역을 나타냅니다.

region =  {{0, 0, 1, 1}, {1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1}};

상단부터 시작하여 셀의 왼쪽에서 오른쪽으로 번호를 매기면 영역의 표시기 벡터에 16 개의 항목이 있습니다.

Flatten[region]

{0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}

90 도의 배수로 모든 회전과 함께 다음 타일을 사용합시다.

tileSet = {{{1, 1}, {1, 0}}};

회전 및 반사를 생성하는 코드 :

apply[s_List, alpha] := Reverse /@ s;
apply[s_List, beta] := Transpose[s];
apply[s_List, g_List] := Fold[apply, s, g];
group = FoldList[Append, {}, Riffle[ConstantArray[alpha, 4], beta]];
tiles = Union[Flatten[Outer[apply[#1, #2] &, tileSet, group, 1], 1]];

(이 다소 불투명 한 계산은 https://math.stackexchange.com/a/159159 의 회신에 설명되어 있으며 타일의 가능한 모든 회전 및 반사를 생성 한 다음 중복 결과를 제거합니다.)

다음과 같이 타일을 배치한다고 가정합니다.

이 배치에서는 셀 3, 6 및 7이 포함됩니다. 그것은 지표 벡터에 의해 지정됩니다

{0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}

이 타일을 한 열 오른쪽으로 이동하면 해당 표시기 벡터가 대신

{0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}

이 두 위치에 타일을 동시에 배치하려는 조합은 이러한 지표의 합으로 결정됩니다.

{0, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}

일곱 번째 위치의 2는 하나의 셀에서 이러한 겹침을 나타냅니다 (두 번째 행 아래, 왼쪽에서 세 번째 열). 겹침을 원하지 않기 때문에 유효한 솔루션의 벡터 합계에 1을 초과하는 항목이 없어야합니다.

이 문제의 경우 타일에 대해 29 가지 방향과 위치 조합이 가능합니다. (이는 철저한 검색과 관련된 간단한 코딩으로 발견되었습니다.) 지표를 열 벡터 로 그려서 29 가지 가능성을 모두 묘사 할 수 있습니다 . (행 대신 열을 사용하는 것이 일반적입니다.) 다음은 16 개의 행 (사각형의 가능한 각 셀마다 하나씩)과 29 개의 열이있는 결과 배열의 그림입니다.

makeAllTiles[tile_, {n_Integer, m_Integer}] :=
  With[{ m0 = Length[tile], n0 = Length[First[tile]]},
   Flatten[
    Table[ArrayPad[tile, {{i, m - m0 - i}, {j, n - n0 - j}}],  {i, 0, m - m0}, {j, 0, n - n0}], 1]];
allTiles = Flatten[ParallelMap[makeAllTiles[#, ImageDimensions[regionImage]] & , tiles], 1];
allTiles = Parallelize[
   Select[allTiles, (regionVector . Flatten[#]) >= (Plus @@ (Flatten[#])) &]];
options = Transpose[Flatten /@ allTiles];

앞의 두 표시기 벡터는 왼쪽에서 처음 두 열로 나타납니다. 예리한 판독기는 병렬 처리를위한 여러 기회를 발견했을 수 있습니다. 이러한 계산에는 몇 초가 걸릴 수 있습니다.

위의 모든 내용은 행렬 표기법을 사용하여 콤팩트하게 정리할 수 있습니다.

• F 는 M 개의 행과 N 개의 열 이있는이 옵션 배열입니다 .

• X 는 길이 N 의 타일 배치 세트의 표시기입니다 .

• b 는 1의 N- 벡터입니다.

• R 은 해당 지역의 지표입니다. 그것은 인 M의 – 벡터.

FX 는 X에 의해 커버되는 셀의 지표이고 R을 갖는 제품 이 이들 값을 합산 하기 때문에 , 가능한 모든 솔루션 X 와 연관된 총 “양호도” 는 RFX 와 같습니다 . ( 해당 지역의 특정 지역을 선호하거나 피하기 위해 솔루션을 원한다면 R에 가중치를 부여 할 수 있습니다.) 이를 최대화해야합니다. 우리는 그것을 ( RF ) 로 쓸 수 있기 때문 입니다. X는 , 그것은이다 선형 의 기능 X :이 중요하다. (아래 코드에서 변수 는 RF를 포함 합니다.)c

제약는 것을

1. X의 모든 요소는 음이 아니어야합니다.

2. X의 모든 요소는 1보다 작아야합니다 ( b 의 해당 항목 임 ).

3. X의 모든 요소는 반드시 통합되어야합니다.

제약 조건 (1)과 (2)는 이것을 선형 프로그램으로 만들고 세 번째 요구 사항은 이것을 정수 선형 프로그램으로 만듭니다.

이 형식으로 표현 된 정수 선형 프로그램을 해결하기위한 많은 패키지가 있습니다 . M 과 N의 값을 수만 또는 수십만 개까지 처리 할 수 있습니다. 실제 응용 프로그램에는 충분할 것입니다.

---

첫 번째 그림으로 Mathematica 8의 LinearProgramming명령을 사용하여 이전 예제의 솔루션을 계산했습니다 . (이것은 선형 목적 함수를 최소화 할 것입니다 . 목적 함수를 무효화함으로써 최소화가 쉽게 최대화로 바뀝니다.) 0.011 초 안에 솔루션 (타일 및 위치 목록으로)을 반환했습니다.

b = ConstantArray[-1, Length[options]];
c = -Flatten[region].options;
lu = ConstantArray[{0, 1}, Length[First[options]]];
x = LinearProgramming[c, -options, b, lu, Integers, Tolerance -> 0.05];
If[! ListQ[x] || Max[options.x] > 1, x = {}];
solution = allTiles[[Select[x Range[Length[x]], # > 0 &]]];

회색 셀은이 영역에 전혀 없습니다. 백혈구는이 용액으로 덮이지 않았다.

이 타일만큼 좋은 다른 타일을 손으로 직접 만들 수는 있지만 더 좋은 타일을 찾을 수는 없습니다. 이것이이 접근 방식의 잠재적 인 한계입니다. 하나 이상의 솔루션이있는 경우에도 최상의 솔루션을 제공합니다 . (몇 가지 해결 방법이 있습니다. X 의 열을 재정렬하면 문제는 변경되지 않지만 소프트웨어는 종종 다른 솔루션을 선택하지만이 동작은 예측할 수 없습니다.)

더 현실적인 두 번째 그림으로 문제의 영역을 고려해 봅시다. 이미지를 가져 와서 리샘플링하여 69 x 81 그리드로 이미지를 표현했습니다.

영역은이 그리드의 2156 개의 셀로 구성됩니다.

흥미로운 점을 만들고 선형 프로그래밍 설정의 일반성을 설명하기 위해 가능한 두 영역 의 사각형 으로이 영역을 최대한 많이 다루도록하겠습니다 .

하나는 17 x 9 (153 셀)이고 다른 하나는 15 x 11 (165 셀)입니다. 우리는 두 번째가 더 크기 때문에 두 번째를 사용하는 것을 선호 할 수 있지만 첫 번째는 더 얇고 더 단단한 장소에 맞을 수 있습니다. 보자!

이 프로그램은 이제 N = 5589 가능한 타일 배치를 포함합니다. 상당히 큽니다! 6.3 초의 계산 후 Mathematica 는이 10 타일 솔루션을 제시했습니다.

일부 슬랙 때문에 ( 예 : 왼쪽 하단 타일을 왼쪽으로 최대 4 개의 열로 이동할 수 있음)이 솔루션과 약간 다른 다른 솔루션이 있습니다.

---

답변