직교 적으로 할 수 없다면 생식으로하십시오 (다항식 회귀) 대한 다항식

에 대해 대한 다항식 회귀 분석을 수행 할 때 때때로 사람들은 원시 다항식, 때로는 직교 다항식을 사용합니다. 그러나 그들이 완전히 임의적 인 것처럼 보이는 것을 사용할 때.X

와이

엑스

여기 에서 여기에 원시 다항식이 사용됩니다. 그러나 여기여기 에서 직교 다항식은 올바른 결과를 제공하는 것으로 보입니다. 왜, 어떻게, 왜?!

반면에 교과서 (예 : ISLR ) 에서 다항식 회귀에 대해 학습 할 때 원시 또는 직교 다항식은 언급하지 않으며 적합 할 모형 만 제공됩니다.

그래서 언제 무엇을 사용해야합니까?
왜 , 등 의 개별 p- 값 이이 두 값 사이에서 크게 다른가?X 2

엑스

엑스2


답변

변수 X 2 는 선형 적으로 독립적이지 않습니다. 그래서 경우에도 추가, 어떤 차 효과가없는 X 2 의 예상 효과를 수정합니다 모델에 X를 .

X

X2

X2

X

매우 간단한 시뮬레이션으로 살펴 봅시다.

> x <- runif(1e3)
> y <- x + rnorm(length(x))
> summary(lm(y~x))

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -0.03486    0.06233  -0.559    0.576
x            1.05843    0.10755   9.841   <2e-16 ***

이제 모형에 2 차 항이 적합합니다.

> summary(lm(y~x+I(x^2)))

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)  0.03275    0.09528   0.344    0.731
x            0.65742    0.44068   1.492    0.136
I(x^2)       0.39914    0.42537   0.938    0.348

물론 옴니버스 테스트는 여전히 중요하지만, 우리가보고있는 결과는 이것이 아니라고 생각합니다. 해결책은 직교 다항식을 사용하는 것입니다.

 > summary(lm(y~poly(x,2)))

 Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)  0.49744    0.03098  16.059   <2e-16 ***
poly(x, 2)1  9.63943    0.97954   9.841   <2e-16 ***
poly(x, 2)2  0.91916    0.97954   0.938    0.348

x첫 번째 모델과 poly(x,2)1두 번째 모델 의 계수는 같지 않으며 인터셉트도 다릅니다. 이는 poly직교 법선 벡터를 제공 하기 때문에 벡터와 직교합니다 rep(1, length(x)). 따라서 그보다 poly(x,2)1x오히려 (x -mean(x))/sqrt(sum((x-mean(x))**2))

중요한 점은이 마지막 모델에서 Wald 테스트가 독립적이라는 것입니다. 직교 다항식을 사용하여 Wald 테스트를보고 원하는 정도까지 결정할 수 있습니다. 여기서 는 유지 하지만 X 2는 유지 하지 않기로 결정합니다 . 물론 처음 두 개의 적합 모델을 비교하여 동일한 모델을 찾을 수 있지만이 방법은 더 간단합니다. 더 높은 각도로 올라가는 것을 고려하면 훨씬 더 간단합니다.

X

X2

유지할 항을 결정한 후에 는 해석 가능성 또는 예측을 위해 원시 다항식 X 2 로 돌아갈 수 있습니다 .

X

X2

답변

상황을 순진하게 평가하려면 :

일반적으로 : 두 개의 서로 다른 기본 함수 시스템 과 일부 함수 (hilbert-) 공간에 대해 { ~ p } n = 1 을 가지고 있다고 가정합니다 (일반적으로 L 2 ( [ a , b ] )). 즉, 모든 제곱 적분 함수의 공간입니다.

{pn}n=1∞

{p~}n=1∞

L2([a,b])

L2([a,b])

y∈L2([a,b])

θ엔

θ~n∈아르 자형

n=1,2,…

엘2

∑엔=1∞θ~엔피~엔=와이=∑엔=1∞θ엔피엔.

케이<∞

{피엔}엔=1케이

{피~}엔=1케이,

엘2([ㅏ,비])

{피~}엔=1∞

{피엔}엔=1∞

와이

{피}엔=1케이

케이

엘2([ㅏ,비])

따라서 예측 측면에서 (이 경우) 차이가 없습니다.

Vㅏ아르 자형(θ~^)=나는σ²

가장 잘린 기본 시스템이 있으면 자연스런 문제가 발생합니다. 그러나 질문에 대한 대답은 단순하거나 독특하지 않으며 예를 들어 "최고"라는 단어의 정의, 즉 보관하려는 대상에 따라 다릅니다.