L_k 구별을위한 가장 작은 NFA 크기의 경계 작은 비 결정적

두 글자가 같지 않도록 Σ 위에있는 모든 k 문자 문자열 로 구성된 언어 L k d i s t i n c t를 고려하십시오 .LkdistinctkΣ

L k d i s t i n c t : = { w = σ 1 σ 2 . . . σ ki [ k ] : σ iΣ  및  j i : σ jσ i }  

Lkdistinct:={w=σ1σ2...σki[k]:σiΣ  and  ji:σjσi}

이 언어는 유한하며 규칙적입니다. 특히 | Σ | = n|Σ|=n 이면 | L k d i s t i n c t | = ( nk ) k!|Lkdistinct|=(nk)k!.

이 언어를 받아들이는 가장 작은 비 결정적 유한 오토 마톤은 무엇입니까?

현재 다음과 같은 느슨한 상한과 하한이 있습니다.

  • 구성 할 수있는 가장 작은 NFA는 4 k ( 1 + o ( 1 ) )p o l y l o g ( n )4k(1+o(1))polylog(n) 상태입니다.

  • 다음의 정리는 2 K2k 상태의 하한을 의미합니다 .

하자 L ΣLΣ 일반 언어합니다. i = j 인 경우에만 x_i \ cdot w_j \ in L 이되도록 nP = { ( x i , w i ) 1 i n }P={(xi,wi)1in} 있다고 가정 합니다. 그런 다음 L을 수락하는 NFA는 적어도 n 개의 상태를 갖습니다.xiwjLxiwjLi=ji=j

  • 또 다른 (사소한) 하한은 loglog(nk)(nk) . 이는 언어에 대한 가장 작은 DFA 크기의 로그입니다.

I는 (에만 고정 부분을 수용하는 NFA 쌍이에 관심 0<ϵ<10<ϵ<1 )의 LkdistinctLkdistinct , 오토 마톤의 크기보다 작은 경우 ϵ4k(1+o(1))polylog(n)ϵ4k(1+o(1))polylog(n) .


편집 : 나는 텍스트에 실수가있는 현상금을 시작했습니다.

k = O (log (n))을 쓰는 동안 k = polylog (n) 이라고 가정 할 수 있었습니다 .k=polylog(n)k=polylog(n)k=O(log(n))k=O(log(n))

편집 2 :

바운티가 곧 종료 될 것이므로 누구나 쉽게 얻을 수있는 방법에 관심이 있다면 다음 언어를 고려하십시오.

L(r,k)distinct:={w:wL(r,k)distinct:={w:w 포함 kk 구별 된 심볼들을 더 심볼 이상 나타나지 rr 시간 }} .

(예 : L(1,k)distinct=LkdistinctL(1,k)distinct=Lkdistinct ).

주석의 구성과 유사한 구조는 대해 크기의 오토 마톤을 제공합니다. .O(ek2klog(1+r)poly(n))O(ek2klog(1+r)poly(n))L(r,k)distinctL(r,k)distinct

이것을 개선 할 수 있습니까? 이 언어에 가장 적합한 하한은 무엇입니까?



답변

이것은 대답이 아니라 개선 된 하한으로 떠날 것이라고 믿는 방법입니다. 후 우리가 문제를 잘라 보자 문자를 읽을 수 있습니다. 가족 나타낸다 의 요소 세트 [ N ] 에 의해 및 패밀리 B = K를 - 의 요소 세트 [ N ] 에 의해 B . 요소 읽은 후에 도달 될 수있는 상태를 의미 함으로써 (임의의 순서로) S 요소 읽은 후 수용성 상태에 도달 할 수있는 상기 상태 B 가 (임의의 순서로)를 T Baa[n]Ab=ka[n]BASABTB. A B = ∅ 인 경우에만 S AT B 가 필요합니다 . 이것은 이미 필요한 수의 상태에 대한 하한을 제공하며 사소한 것을 줄 수 있다고 생각합니다.SATBAB=

이 문제는 본질적으로 선 그래프가 (부분적으로) 알려진 하이퍼 그래프의 정점 수에 대한 하한을 요구합니다. 유사한 문제들이 예를 들어 Bollobas 에 의해 연구되었으며 유용 할 수있는 몇 가지 알려진 증명 방법이 있습니다.

업데이트 2014년 3월 24일은 : 사실 위의 하이퍼 그래프는에 실현 될 수있는 경우 정점, 우리는 또한 길이의 비 결정적 통신 복잡한 프로토콜을 얻을 로그 크기의 입력 세트와 세트 disjointness에 대한 와 B (사실 두 가지 문제를 동일합니다). 병목 현상은 물론 a = b = k / 2 일 때 Eyal 및 Noam의 책에서만 다음을 찾을 수 있습니다 .N 1 ( D I S J a ) log ( 2 k log e (slogsaba=b=k/2a ) )는 표준 확률 론적 주장에 의해 입증되었다. 불행히도 나는이 문제에 대해 충분한 하한을 찾을 수 없었지만 위의 내용이 예리하다고 가정하면언급 한 두 개의 하한을 통합하는하한Ω(2klogn)을줄 것입니다.N1(DISJa)log(2kloge(na))Ω(2klogn)


답변

진행중인 일부 작업 :

하한을 4 k 증명하려고합니다 . 여기에 그런 하한을 줄 것이라고 확신하는 질문 이 있습니다. 함수 f 가 존재 하도록 최소 t를 찾으십시오 . : { S [ n ] , | S | = k / 2 } { 0 , 1 } t 불연속성 을 유지, 즉 S 1S 2 = iff f ( S 1 ) f (4ktf:{S[n],|S|=k/2}{0,1}tS1S2=S 2 ) = . 나는 t 2 k 의 하한이 거의 즉시우리의 문제에 대해 2 2 k = 4 k 의 하한을 암시한다고확신합니다. F ( S는 ) 대략 제 읽은 후에는 NFA를 얻을 수있는 노드들의 세트에 대응하는 K / 2 이 세트되면, 입력 심볼들을 K / 2 심볼은 S .f(S1)f(S2)=t2k22k=4kf(S)k/2k/2S

나는이 질문에 대한 해결책이 의사 소통 복잡성 문헌 (특히 불연속성 문제를 다루는 논문에서, 아마도 일부 매트릭스 순위 인수가 도움이 될 것임)이나 인코딩에 관한 문헌 (예 : 이와 같은 ) 에서 이미 알려져 있다고 생각한다 .