튜링 기계와 관련된 흥미로운 미터법 공간 기계 나타낸다 kkk . 다음 기능을 고려하십시오

이 질문에서 우리는 모든 입력에서 멈추는 Turing 머신만을 고려합니다. 경우 $k \in N$

k∈N

다음에 의해 $T_{k}$

우리는 그 코드 튜링 기계 나타낸다 $k$

다음 기능을 고려하십시오

s (x, y) = min {k ∣ | L (T k) \cap {x, y} | = 1}

다시 말해, 는 문자열 중 하나를 정확하게 인식하는 가장 작은 Turing machine의 코드입니다이제 다음 맵을 정의 할 수 있습니다 $s (x, y)$

s(x,y)

$x, y .$

x,y.

d (x, y) = {2 - s (x, y) 0 if x \neq y, otherwise.

$d (x, y)$

d(x,y)

)가 에서 메트릭 공간 (실제로는 울트라 메트릭 유도한다는 것을 빠르게 확인할 수 있습니다 $Σ^{*} .$

Σ∗.

이제 $f : Σ^{*} \mapsto Σ^{*}$

f:Σ∗↦Σ∗

가 모든 재귀 언어 L에 대해 균일하게 연속적인 함수 인 경우, $f^{- 1} (L)$

f−1(L)

도 재귀 .

다시 말해, $f$

가 모든 $ϵ > 0$

ϵ>0

에 대해 $δ > 0$

δ>0

되도록 맵으로 하자. 문자열 $x, y \in Σ^{*}$

x,y∈Σ∗

d (x, y) \leq δ

d (f (x), f (y)) < ϵ .

그런 다음 이 재귀 적이 라면 $f^{- 1} (L)$

f−1(L)

은 재귀 언어임을 보여 주어야합니다 . $L$

이제 이미 언급 이 문자열을 주어진 튜링 기계가 있다는 것을 표시하도록 포스트 문제를 접근하는 한 방법이다 로 계산 $x \in Σ^{*}$

x∈Σ∗

$f (x) .$

f(x).

나는이 주장을 증명 하고이 문제를 해결하기위한 다른 접근법이 있는지 궁금해하고 있습니까?

힌트, 제안 및 솔루션을 환영합니다!

답변

편집 : 힌트를 제거하고 내 솔루션을 게시했습니다.

여기 내 해결책이 있습니다. 우리는 기준점 선택하는거야 과에서 우주 고려 와 보기의 포인트. 포인트의 모든 "이웃"은 재귀 언어에 해당합니다. 그래서 주위 동네 및 주변 일부 이웃있을 것이다 그것에 매핑; 이 동네는 재귀 언어입니다. $x$

$f (x) \in L$

f(x)∈L

$x$

$f (x)$

f(x)

$L$

$f (x)$

f(x)

$x$

렘마 이 공간에서 언어는 각 문자열의 이웃 인 경우에만 재귀 적입니다.

증거 . 먼저 재귀 언어 수정하고 보자 . 를 에 대한 결정자의 최소 지수라고 합시다 . 그렇다면 우리가이 경우 , 이므로 . 따라서 는 $L$

$x \in L$

x∈L

$K$

$L$

$y \notin L$

y∉L

$s (x, y) \leq K$

s(x,y)≤K

$d (x, y) \geq 1 / 2^{K}$

d(x,y)≥1/2K

$d (x, y) < 1 / 2^{K}$

d(x,y)<1/2K

. $y \in L$

y∈L

둘째, 임의의 문자열로 설정하고 수정하십시오 . 하자 . 하자 ; 그런 다음 입니다. 그럼 우리는 쓸 수 있습니다 $x$

$ε > 0$

ε>0

$K = ⌊ \log (1 / ε) ⌋$

K=⌊log⁡(1/ε)⌋

$L_{K} = {y : d (x, y) < ε}$

LK={y:d(x,y)<ε}

$L_{K} = {y : s (x, y) > K}$

LK={y:s(x,y)>K}

L K = {y : (\forall j = 1, \dots, K) | L (T j) \cap {x, y} | \neq 1} .

그러나 decidable이다 입력에 , 하나는 제 시뮬레이트 수 에 결정기 및 한정해 각각 어느 허용 둘 또는 모두를 거부하는 경우에 동의. $L_{K}$

$y$

$K$

$x$

$y$

$◻$

◻

이제 거의 끝났습니다.

소유가. 보자 연속. 경우 재귀하고 재귀. $f$

$L$

$f^{- 1} (L)$

f−1(L)

증명. 연속 기능에서 이웃의 사전 이미지는 이웃입니다.

흥미롭게도,이 공간에서 연속 함수는 균일하게 연속적이라고 생각합니다. 는 연속적이므로 각 점 에 대해 각 에 대해 대응하는 있습니다. 수정 하고하자 . 크기가 유한 한 개수의 볼이있다 : ; 다음이있다 $f$

$x$

$ε$

$δ$

$ε$

$K = ⌊ \log (1 / ε) ⌋$

K=⌊log⁡(1/ε)⌋

$ε$

$L (T_{1}) \cup L (T_{2}) \dots \cup L (T_{K})$

L(T1)∪L(T2)⋯∪L(TK)

; 그런 다음등입니다. 이러한 언어 각각 어소프리 이미지 언어 연관된 직경. 각 $\bar{L (T_{1})} \cup L (T_{2}) \dots \cup L (T_{K})$

L(T1)¯∪L(T2)⋯∪L(TK)

$L (T_{1}) \cup \bar{L (T_{2})} \dots \cup L (T_{K})$

L(T1)∪L(T2)¯⋯∪L(TK)

$f$

$L_{i}$

$L_{i}^{'}$

Li′

$δ_{i}$

δi

, $x \in L_{i}^{'}$

x∈Li′

. 따라서이 과 관련된균일 한 연속 상수 를 얻기 위해이처럼 많은 대해 최소값을 취할 수 있습니다. $d (x, y) \leq δ_{i} ⟹ d (f (x), f (y)) \leq ε$

d(x,y)≤δi⟹d(f(x),f(y))≤ε

$δ$

$ε$

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