상한 및 하한의 "올바른"정의는 무엇입니까? 에프( n )f(n)f(n)

하자 $f (n)$

f(n)

이 될 크기의 입력에 문제시 실행되는 최악의 경우 $n$

. 우리는이 문제 고정함으로써 조금 이상한합시다 $f (n) = n^{2}$

f(n)=n2

에 대한 $n = 2 k$

n=2k

이지만 $f (n) = n$

f(n)=n

에 대한 $n = 2 k + 1$

n=2k+1

그렇다면 문제의 하한은 무엇입니까? 내가 이해 한 방식은 하한입니다 $f (n)$
f(n)
. 그러나 우리는 $f (n) = Ω (n^{2})$
f(n)=Ω(n2)
가 상수 $k$
k
, 이 존재 $n_{0}$
n0
하여 모든 $n > n_{0}$
n>n0
, 가 존재 함을 의미하며 $f (n) > k n^{2}$
f(n)>kn2
, 이는 사실이 아닙니다. 따라서 우리는 오직 이라고 말할 수있는 것 같습니다 $f (n) = Ω (n)$
f(n)=Ω(n)
. 그러나 일반적으로 문제의 하한이 $Ω (n^{2})$
Ω(n2)
.
라고 가정 $g (n) = Ω (n^{2})$
g(n)=Ω(n2)
, 정수가 있는지 수단 $k$
k
, $n_{0}$
n0
이되도록 모든 $n > n_{0}$
n>n0
, $g (n) > k n^{2}$
g(n)>kn2
. 또한 문제가 실행 시간 이라고 가정하자 $g (n)$
g(n)
. 우리는 모든 소수를 위해이 문제를 줄일 수있는 경우 $n$
n
(동일한 입력 크기) 또 다른 문제로, 우리는 다른 문제의 실행 시간이 낮기의 결합 말할 수 $Ω (n^{2})$
Ω(n2)
?

답변

의 올바른 정의는 이 존재 하여 무한히 많은 , 입니다. 하한에 대한 무한 정의는 문제를 처리하고 실제로 사용하는 방식입니다. $f (n) = Ω (n^{2})$

f(n)=Ω(n2)

$k > 0$

k>0

$n$

$f (n) \geq k n^{2}$

f(n)≥kn2

나는 2005 년에이 글 을 올렸습니다.

일부 교과서는이 정의를 올바르게 얻지 만 일부는 그렇지 않습니다.

답변

로 크 누스 의 정의 만 주장 할 수 . 알다시피, 이것은 직관적이지 않으며 Vitányi 및 Meertens 함수 “wild”에 대해 발생합니다 . 그들은 정의를 제안합니다 $f (n) \in Ω (n)$

f(n)∈Ω(n)

Ω (f (n)) = {g ∣ \exists δ > 0 : \forall n 0 > 0 : \exists n > n 0 : g (n) \geq δ f (n)} .

(이것은 Lance의 정의와 동일합니다.)이 정의로 . $f (n) \in Ω (n^{2})$

f(n)∈Ω(n2)

답변

나는 가장 널리 사용되는 것을 알지 못하지만 (가장 컴퓨터 과학을위한) 가장 오래된 사용법을 알고 있다고 생각합니다.

Hartmanis & Stearns의 “1965 년 계산 알고리즘의 복잡성”에서 Corollary 2.1은 다음과 같습니다.

경우 및 시간 기능이되도록 $U$
U
$T$
T
, $inf_{n \to \infty} \frac{T (n)}{U (n)} \geq 0$
infn→∞T(n)U(n)≥0
$S_{U} \subseteq S_{T}$
SU⊆ST

여기서 에서 계산 가능한 모든 문제의 복잡도 종류 인 . T (n)은 일부 정수 와 모든 및 대해 를 준수해야 하지만 시간을 구성 할 필요는 없습니다. $S_{K}$

$O (K (n))$

O(K(n))

$T (n) \geq n / k$

T(n)≥n/k

$k$

$n$

$T (n) \leq T (n + 1)$

T(n)≤T(n+1)

함수는 대한 첫 번째 규칙을 따르지만 두 번째 규칙을 따르지 않습니다. $k = 1$

k=1

Corollary 2.2는 위의 역수이며 한계 최고를 사용하지만 여전히 이러한 요구 사항이 있습니다. 알고리즘이 수년에 걸쳐 복잡 해짐에 따라 요구 사항이 완화되었을 수 있습니다.

답변

두 가지를 구별해야한다고 생각합니다.

함수의 하한
문제에 대한 하한 (알고리즘)

함수의 경우, 순서를 고칠 때 하한 / 상한 의 정의가 뒤 따릅니다. 순서 관계가 점근 적 전공 인 경우 (상수 요인 무시)

f ⪯ g : \exists c, n \forall m > n . f (x) \leq c g (x)

정의는 와 의 일반적인 정의입니다 . 둘 다 조합과 같은 다른 영역에서 광범위하게 사용됩니다. $O$

$Ω$

그러나 문제 (알고리즘)에 대한 하한에 대해 이야기 할 때, 실제로 말하고 싶은 것은 문제를 해결하기 위해 알고리즘을 실행하기 위해 특정 양의 자원이 필요하다는 것입니다. 복잡성 클래스는 종종 와 같은 함수에 의해 매개 변수화되며 , 우리는 문제가 함수에 의해 하 한계라고 간단하게 말하지만 이는 멋진 함수에 대해서만 작동합니다 (예 : 알고리즘의 실행 시간은 모노톤 등). 우리가 이러한 경우에 말하고 싶은 것은 우리가 필요로하는 것입니다 보다, 즉 적은 문제를 해결하기 위해 시간을 실행 $T i m e (t (n))$

Time(t(n))

$n^{2}$

실행 시간이 충분하지 않아 알고리즘의 실행 시간이 이 아니라는 Lance의 정의가됩니다 . $o (t (n))$

o(t(n))

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