이항 랜덤 변수의 표본 평균에 대한 표준 오차 수 있습니다. 에스이자형엑스= σ엑스엔√SEX=σXnSE_X = \frac{\sigma_X}{\sqrt{n}}

내가 2 개의 결과를 가질 수있는 실험을 실행 중이고 2 개의 결과의 기본 “진정한”분포가 모수 $n$

및 갖는 이항 분포라고 가정합니다 $p$

. $B i n o m i a l (n, p)$

Binomial(n,p)

표준 오류를 계산할 수 있습니다. $S E_{X} = \frac{σ_{X}}{\sqrt{n}}$

SEX=σXn

의 변화의 형태로부터 $B i n o m i a l (n, p)$

Binomial(n,p)

σ 2 엑스 = n p q

여기서, $q = 1 - p$

q=1−p

. 따라서 $σ_{X} = \sqrt{n p q}$

σX=npq

. 표준 오류의 경우 $S E_{X} = \sqrt{p q}$

SEX=pq

이지만 $S E_{X} = \sqrt{\frac{p q}{n}}$

SEX=pqn

. 내가 뭘 잘못 했어?

답변

샘플 크기와 이항 랜덤 변수를 구성하는 베르누이 시행 횟수와 같이 두 가지 방식으로 두 번 사용하는 것 같습니다 . 모호성을 없애기 위해 를 사용 하여 후자를 참조합니다. $n$

$k$

분포 에서 독립 표본 이있는 경우 표본 평균의 분산은 다음과 같습니다. $n$

$B i n o m i a l (k, p)$

Binomial(k,p)

v a r (1 n \sum i = 1 n X i) = 1 n 2 \sum i = 1 n v a r (X i) = n v a r ( X i ) n 2 = v a r ( X i ) n = k p q n

여기서 이고 는 동일한 평균입니다. 이후부터 $q = 1 - p$

q=1−p

$\bar{X}$

X¯

(1) , $v a r (c X) = c^{2} v a r (X)$

var(cX)=c2var(X)

어떤 확률 변수에 대한 , 및 임의의 상수 . $X$

$c$

(2) 독립 랜덤 변수의 합의 분산은 분산의 합과 같습니다 .

의 표준 오차 는 분산의 제곱근입니다. $\bar{X}$

X¯

. 따라서, $\sqrt{\frac{k p q}{n}}$

kpqn

일 때 지적한 공식을 얻습니다. $k = n$
k=n
$\sqrt{p q}$
pq
때 , 그리고 이항 변수는 단지입니다 베르누이 시행은 , 당신은 당신이 다른 곳에서 본 적이 공식을 얻을 : $k = 1$
k=1
$\sqrt{\frac{p q}{n}}$
pqn

답변

두 개의 이항 분포를 혼동하기 쉽습니다.

성공 횟수 분포
성공 비율의 분포

npq는 성공 횟수이고 npq / n = pq는 성공 비율입니다. 이로 인해 표준 오차 공식이 달라집니다.

답변

우리는 이것을 다음과 같은 방식으로 볼 수 있습니다 :

$n$

$Y$

$Y = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}$

Y=∑i=1nXi

$X_{i}$

$Y$

$p q$

$p$

$q = 1 - p$

q=1–p

이제, 우리는의 차이를 보면 , . 그러나 모든 개별 Bernoulli 실험에 대해 입니다. 이 때문에 실험에서 토스 또는 베르누이 시행 . 이는 에 분산 가 있음을 의미합니다 . $Y$

$V (Y) = V (\sum X_{i}) = \sum V (X_{i})$

V(Y)=V(∑Xi)=∑V(Xi)

$V (X_{i}) = p q$

V(Xi)=pq

$n$

$V (Y) = \sum V (X_{i}) = n p q$

V(Y)=∑V(Xi)=npq

$Y$

$n p q$

npq

이제 샘플 비율은 주어지며 , 이는 ‘성공 또는 헤드의 비율’을 제공합니다. 여기서 은 모집단의 모든 실험에 대해 동일한 동전 던지기를 계획하지 않기 때문에 상수입니다. $\hat{p} = \frac{Y}{n}$

p^=Yn

$n$

따라서 입니다. $V (\frac{Y}{n}) = (\frac{1}{n^{2}}) V (Y) = (\frac{1}{n^{2}}) (n p q) = p q / n$

V(Yn)=(1n2)V(Y)=(1n2)(npq)=pq/n

따라서, (표본 통계량)의 표준 오차 는 $\hat{p}$

$\sqrt{p q / n}$

pq/n

답변

표준 오류와 표준 편차 사이의 초기 게시물에도 약간의 혼란이 있다고 생각합니다. 표준 편차는 분포 분산의 sqrt입니다. 표준 오차는 해당 분포에서 표본의 추정 평균의 표준 편차, 즉 표본을 무한정 여러 번 수행 한 경우 관찰 할 평균의 확산입니다. 전자는 분포의 고유 속성입니다. 후자는 분포의 특성 (평균) 추정치의 품질을 측정 한 것입니다. 알 수없는 성공 확률을 추정하기 위해 N Bernouilli 시행을 실험 할 때 k 성공을 본 후 추정 된 p = k / N의 불확실성은 추정 비율 sqrt (pq / N)의 표준 오차입니다. 여기서 q = 1 -피. 실제 분포는 성공 확률 인 모수 P를 특징으로합니다.

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이항 랜덤 변수의 표본 평균에 대한 표준 오차 수 있습니다. 에스이자형엑스= σ엑스엔√SEX=σXnSE_X = \frac{\sigma_X}{\sqrt{n}}

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