주어진 생성 함수는 κ(t)=∫10etx−1x dx.κ(t)=∫01etx−1x dx. \kappa(t)

$n$

번째 누적이 로 주어진 분포에 대한 정보가 있습니까? $\frac{1}{n}$

? 누적 생성 함수는

κ (t) = \int 10 e t x - 1 x d x .

나는 임의의 변수의 제한 분포로 그것을 가로 질러 보았지만 그것에 대한 정보를 찾을 수 없었습니다.

답변

cumulants의 값을 알면이 확률 분포의 그래프가 어떻게 보이는지 알 수 있습니다. 분포의 평균과 분산은

E [Y] = κ 1 = 1, Var [Y] = κ 2 = 1 2

왜도 및 초과 첨도 계수는

γ 1 = κ 3 ( κ 2 ) 3 / 2 = ( 1 / 3 ) ( 1 / 2 ) 3 / 2 = 2 2 - \sqrt 3

γ 2 = κ 4 ( κ 2 ) 2 = ( 1 / 4 ) ( 1 / 2 ) 2 = 1

${0, 1, . . ., m}$

{0,1,...,m}

${p_{0}, p_{1}, . . ., p_{m}}, \sum_{k = 0}^{m} p_{k} = 1$

{p0,p1,...,pm},∑k=0mpk=1

, and then use the cumulants to calculate the raw moments, with the purpose of forming a system of linear equations with the probabilities being the unknowns. Cumulants are related to raw moments by

κ n = μ' n - \sum i = 1 n - 1 (n - 1 i - 1) κ i μ' n - i

Solved for the first five raw moments this gives (the numerical value at the end is specific to the cumulants in our case)

μ' 1 = μ' 2 = μ' 3 = μ' 4 = μ' 5 = κ 1 = 1 κ 2 + κ 21 = 3 / 2 κ 3 + 3 κ 2 κ 1 + κ 31 = 17 / 6 κ 4 + 4 κ 3 κ 1 + 3 κ 22 + 6 κ 2 κ 21 + κ 41 = 19 / 3 κ 5 + 5 κ 4 κ 1 + 10 κ 3 κ 2 + 10 κ 3 κ 21 + 15 κ 22 κ 1 + 10 κ 2 κ 31 + κ 51 = 243 / 15

If we (momentarily) set $m = 5$

m=5

we have the system of equations

\sum k = 0 5 p k = \sum k = 0 5 p k k 2 = \sum k = 0 5 p k k 4 = 1, \sum k = 0 5 p k k = 1 3 / 2, \sum k = 0 5 p k k 3 = 17 / 6 19 / 3, \sum k = 0 5 p k k 5 = 243 / 15 s . t . p k \geq 0 \forall k

Of course we do not want $m$

to be equal to $5$

. But increasing gradually $m$

(and obtaining the value of the subsequent moments), we should eventually reach a point where the solution for the probabilities stabilizes. Such an approach cannot be done by hand -but I have neither the software access, nor the programming skills necessary to perform such a task.

How IT

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주어진 생성 함수는 κ(t)=∫10etx−1x dx.κ(t)=∫01etx−1x dx. \kappa(t)

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