드리프트를 이용한 랜덤 워크의 최대 드로우 다운 누적 분포 계산 분포에 관심이 있습니다.

랜덤 워크의 최대 드로우 다운 분포에 관심이 있습니다. $X_{0} = 0, X_{i + 1} = X_{i} + Y_{i + 1}$

X0=0,Xi+1=Xi+Yi+1

어디 $Y_{i} \sim N (μ, 1)$

Yi∼N(μ,1)

. 이후 최대 인출 $n$

기간은 $max_{0 \leq i \leq j \leq n} (X_{i} - X_{j})$

max0≤i≤j≤n(Xi−Xj)

. Magdon-Ismail 등 의 논문 . 알. 드리프트가있는 브라운 운동의 최대 손실을위한 분포를 제공합니다. 이 표현에는 암시 적으로 만 정의 된 일부 용어가 포함 된 무한 합이 포함됩니다. 수렴하는 구현을 작성하는 데 문제가 있습니다. CDF의 대체 표현이나 코드의 참조 구현에 대해 아는 사람이 있습니까?

답변

이것은 교호 합입니다. 각 연속 쌍은 거의 취소됩니다. 이러한 페어-합은 결국 단조 감소합니다.

따라서 한 가지 방법은 = {1,2}, {3,4}, {5,6} 등의 쌍으로 합계를 계산하는 것입니다 . 이렇게하면 많은 부동 소수점 오류도 제거됩니다. 더 많은 트릭이 도움이 될 수 있습니다. $n$

(1)을 해결하는 플러스 전율 좋은 시작 값을 검색하는 – 상기위한 훌륭한 근사 최대 root– 인 입니다. 뉴턴-랩슨이 정말 잘 작동 할 것 같아요. $\tan (t) = t / α$

tan⁡(t)=t/α

$α$

$n^{th}$

nth

$t = (n + 1 / 2) π - \frac{α}{(n + 1 / 2) π}$

t=(n+1/2)π−α(n+1/2)π

(2) 소수의 초기 항 후에 쌍의 합은 크기가 매우 일정하게 감소하기 시작합니다. 지수 간격 쌍의 절대 값의 로그는 거의 선형 적으로 빠르게 감소합니다. 즉, 계산하지 않은 모든 페어 섬을 추정하기 위해 매우 적은 수의 계산 된 페어 섬을 보간 할 수 있습니다. 예를 들어, 쌍 (2,3), (4,5), (8,9), (16,17), …, (16384, 16385)에 대해서만 값을 계산하고 이들에 대한 보간 다항식을 구성함으로써 (1, 2, …, 14의 함수 값으로 생각) 및 인수 $h = μ = σ = 1$

h=μ=σ=1

최악의 오류에 대해 6 자릿수 정밀도를 달성 할 수있었습니다. (더 좋을지라도 오류가 부호로 진동하여 합산 된 보간 된 값의 정밀도가 6 자리보다 훨씬 낫다는 것을 암시합니다.)이 값의 끝에서 선형으로 외삽하여 제한 합계를 좋은 정밀도로 추정 할 수 있습니다. 전력 법으로 변환하고 외삽 기능을 무한대로 통합합니다. 이 예제 계산을 완료하려면 첫 번째 항도 필요합니다. 그것은 합산에서 단지 29 개의 계산 된 항에 의해 6 개의 그림 정밀도를 제공합니다.

(3) 함수는 실제로 세 변수 모두에 독립적이 아니라 및 에 의존합니다. 에 대한 의존성 은 약해야한다. 모든 계산에서 값을 수정하는 데 만족할 수 있습니다. $h / σ$

h/σ

$μ / σ$

μ/σ

$T$

(4) 무엇보다도 Aitken의 방법 과 같은 몇 가지 직렬 가속 방법을 사용하십시오 . 이것에 대한 좋은 설명은 수치 레시피에 나타납니다 .

추가

(5) 적분으로 합계의 꼬리를 추정 할 수 있습니다. 기록시 , 식 (와 해결할 수) 대한 작은 다음입니다, 다시 대체하여. 에서 Taylor 시리즈의 탄젠트를 확장하면 대략적인 솔루션이 제공됩니다. $θ_{n} = (n + 1 / 2) π - 1 / t_{n}$

θn=(n+1/2)π−1/tn

$\tan (θ_{n}) = θ_{n} / α$

tan⁡(θn)=θn/α

$α = μ h / σ^{2}$

α=μh/σ2

$t_{n}$

$θ_{n}$

θn

$t_{n}$

θ n = z - α z - α 2 - α 3 / 3 z 3 + O ((α n) 5)

여기서 입니다. $z = (n + 1 / 2) π$

z=(n+1/2)π

다만 이 충분히 큰 경우, 폼의 지수 인자 는 1에 매우 가까워져 무시할 수 있습니다. 가 이므로 첫 번째 지수가 매우 빠르게 0 이 되기 때문에 일반적으로 이러한 항은 작은 대해서도 무시할 수 있습니다 . (이것은 실질적으로 초과하면 발생합니다 . 가능하면 큰 대한 계산을 수행하십시오 !) $n$

$1 - \exp (\frac{- σ^{2} θ_{n}^{2} T}{2 h^{2}}) \exp (\frac{- μ^{2} T}{2 σ^{2}})$

1−exp⁡(−σ2θn2T2h2)exp⁡(−μ2T2σ2)

$n$

$θ_{n}^{2}$

θn2

$Θ (n^{2})$

Θ(n2)

$n$

$α / T^{1 / 2}$

α/T1/2

$T$

에 대해이 표현식을 사용하여 과 대한 항을 합하면 다음 과 같이 근사값을 추정합니다. $θ_{n}$

θn

$n$

$n + 1$

n+1

2 π n 2 - 4 π n 3 + 13 π 2 + 6 ( 4 - 3 α ) α 2 π 3 n 4 + O (1 n 5) .

시작 합 장착 통해 일체로 부터 꼬리 가깝다. (적분은 의 공통 인수로 곱해야합니다 .) 적분의 오류는 입니다. 따라서 세 개의 유효 숫자를 달성하려면 일반적으로 합계에서 약 8 개 정도의 항을 계산 한 다음이 꼬리 근사값을 추가해야합니다. $n = 2 N$

n=2N

$N$

$N - 1 / 4$

N−1/4

$\exp (- α)$

exp⁡(−α)

$O (1 / n^{4})$

O(1/n4)

답변

fBasics 의 드로우 다운 분포 함수를 살펴 보는 것으로 시작할 수 있습니다 . 따라서 드리프트로 브라운 운동을 쉽게 시뮬레이션하고 이러한 기능을 시작으로 적용 할 수 있습니다.

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