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및 의 두 개의 독립적 인 Bernoulli 랜덤 변수 샘플이 있다고 가정합니다 . $B e r (θ_{1})$

Ber(θ1)

$B e r (θ_{2})$

Ber(θ2)

우리는 어떻게 입증 할 그 ?

( X ¯ 1 - X ¯ 2 ) - ( θ 1 - θ 2 ) θ 1 ( 1 - θ 1 ) n 1 + θ 2 ( 1 - θ 2 ) n 2 - - - - - - - - - - - - - - \sqrt \to d N (0, 1)

라고 가정하십시오 . $n_{1} \neq n_{2}$

n1≠n2

답변

넣어
, ,
,
입니다. 우리가
. 특징적인 기능의 관점에서 그것은

우리는
$a = \frac{\sqrt{θ_{1} (1 - θ_{1})}}{\sqrt{n_{1}}}$

a=θ1(1−θ1)n1

$b = \frac{\sqrt{θ_{2} (1 - θ_{2})}}{\sqrt{n_{2}}}$

b=θ2(1−θ2)n2

$A = ({\bar{X}}_{1} - θ_{1}) / a$

A=(X¯1−θ1)/a

$B = ({\bar{X}}_{2} - θ_{2}) / b$

B=(X¯2−θ2)/b

$A \to_{d} N (0, 1), B \to_{d} N (0, 1)$

A→dN(0,1), B→dN(0,1)

ϕ A (t) \equiv E e i t A \to e - t 2 / 2, ϕ B (t) \to e - t 2 / 2 .

D : = a a 2 + b 2 - - - - - - \sqrt A - b a 2 + b 2 - - - - - - \sqrt B \to d N (0, 1)

이후 및 독립적으로,

원하는대로) $A$

$B$

ϕ D (t) = ϕ A (a a 2 + b 2 - - - - - - \sqrt t) ϕ B (- b a 2 + b 2 - - - - - - \sqrt t) \to e - t 2 / 2,

이 증거는 불완전합니다. 여기서 우리는 특성 함수의 균일 한 수렴에 대한 몇 가지 추정이 필요합니다. 그러나 고려중인 경우 명시적인 계산을 수행 할 수 있습니다. 넣어 .

as 입니다. 따라서 고정 경우
$p = θ_{1}, m = n_{1}$

p=θ1, m=n1

ϕ X 1, 1 (t) ϕ X ¯ 1 (t) ϕ X ¯ 1 - θ 1 (t) ϕ A (t) = 1 + p (e i t - 1), = (1 + p (e i t / m - 1)) m, = (1 + p (e i t / m - 1)) m e - i p t, = (1 + p (e i t / m p (1 - p) \sqrt - 1)) m e - i p t m \sqrt / p (1 - p) \sqrt = ((1 + p (e i t / m p (1 - p) \sqrt - 1)) e - i p t / m p (1 - p) \sqrt) m = (1 - t 2 2 m + O (t 3 m - 3 / 2)) m

$t^{3} m^{- 3 / 2} \to 0$

t3m−3/2→0

$t$

ϕ D (t) = (1 - a 2 t 2 2 ( a 2 + b 2 ) n 1 + O (n - 3 / 2 1)) n 1 (1 - b 2 t 2 2 ( a 2 + b 2 ) n 2 + O (n - 3 / 2 2)) n 2 \to e - t 2 / 2

( 또는 일지라도 ) 때 ( /math/2566469/uniform-bounds-for-1-y-nn-exp-y/ ). $a \to 0$

a→0

$b \to 0$

b→0

$| e^{- y} - (1 - y / m)^{m} | \leq y^{2} / 2 m$

|e−y−(1−y/m)m|≤y2/2m

$y / m < 1 / 2$

y/m<1/2

첫 번째 두 모멘트의 측면에서 특성 함수의 확장을 사용하여 유한 한 두 번째 모멘트를 갖는 임의의 (베르누이가 아닌) 분포에 대해 유사한 계산이 수행 될 수 있습니다.

답변

당신의 진술을 증명하는 것은 (Levy-Lindenberg) Central Limit Theorem을 증명하는 것과 같습니다.

경우 , 유한 평균을 가진 IID 확률 변수의 서열이다 와 유한 분산 다음에 ${Z_{i}}_{i = 1}^{n}$

{Zi}i=1n

$E (Z_{i}) = μ$

E(Zi)=μ

$V (Z_{i}) = σ^{2}$

V(Zi)=σ2

n - - \sqrt (Z ¯ - μ) \to d N (0, σ 2)

여기 에서 샘플 분산 인 입니다. $\bar{Z} = \sum_{i} Z_{i} / n$

Z¯=∑iZi/n

그러면 우리가 넣으면 쉽게 알 수 있습니다

Z i = X 1 i - X 2 i

와 따르는 및 특히 법칙이 만족되는 조건의 각각에, $X_{1 i}, X_{2 i}$

X1i,X2i

$B e r (θ_{1})$

Ber(θ1)

$B e r (θ_{2})$

Ber(θ2)

E (Z i) = θ 1 - θ 2 = μ

과

V (Z i) = θ 1 (1 - θ 1) + θ 2 (1 - θ 2) = σ 2

(마지막 구절이 있으며 일반적인 경우에 대해서는 약간 조정해야 하지만 지금 가야합니다. 내일을 끝내거나 운동으로 최종 구절로 질문을 편집 할 수 있습니다) $n_{1} \neq n_{2}$

n1≠n2

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두 개의 독립적 인 Bernoulli 모집단의 표본 추출 분포 두 개의 독립적 인 Bernoulli 랜덤

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