나는 간격 산술 (IA)에 대한 매우 기본적인 개념을 가지고 있지만 이론적으로나 실제적으로 계산 과학의 매우 흥미로운 지점 인 것 같습니다. 명백한 응용 프로그램이 컴퓨팅 및 잘못된 문제로 검증 된 것은 분명하지만 이것은 너무 추상적입니다. 여기에는 응용 계산에 많은 사람들이 관여 하기 때문에 IA 없이는 해결하기 어렵거나 불가능한 실제 문제에 대해 궁금 합니다.
답변
이 답변은 JackPoulson의 의견 (부분적으로 길기 때문에)에 부분적으로 응답하고 부분적으로 질문에 답변합니다.
구간 산술은 구간에 걸쳐 실제 값 함수의 구간 확장이 동일한 구간에 걸쳐 해당 함수의 이미지를 포함한다는 의미에서만 계산 된 수량에 엄격한 한계를 부여하는 계산 절차입니다. 아무것도 계산하지 않으면 구간 산술을 통해 계산에서 수치 오류에 영향을 미치는 요인에 대한 통찰력을 얻을 수 없지만 Higham의 저서 및 기타 이론에 따르면 잠재적으로 약한 경계 비용으로 수치 오류에 영향을 미치는 요인에 대한 통찰력을 얻을 수 있습니다. 물론, 간격 산술을 사용하여 얻은 경계도 소위 종속성 문제 로 인해 약할 수 있지만 때로는 훨씬 강합니다. 예를 들어, 통합 패키지 COZY Infinity를 사용하여 얻은 간격 범위Dahlquist의 결과에서 수치 적분에 대해 얻을 수있는 오차 한계 유형보다 훨씬 더 엄격합니다 (자세한 내용은 Hairer, Wanner 및 Nørsett 참조). 이 결과 (특히 I 부 Theorems 10.2 및 10.6 참조)는 오류의 원인에 대해 더 많은 통찰력을 제공하지만 한계는 약한 반면 COZY를 사용하는 한계는 엄격 할 수 있습니다. (몇 가지 트릭을 사용하여 종속성 문제를 완화합니다.)
인터벌 산술이 무엇인지 설명 할 때 “proof”이라는 단어를 사용하는 것을 망설입니다. 구간 산술과 관련된 증거가 있지만 바깥 쪽 반올림으로 구간 산술을 사용하여 결과를 계산하는 것은 실제로 함수 범위를 보수적으로 묶는 부기의 수단 일뿐입니다. 구간 산술 계산은 증거가 아닙니다. 그들은 불확실성을 전파하는 방법입니다.
Stadtherr의 화학 공학 작업 외에도 응용 분야에 이르기까지 간격 산술은 입자 빔 실험의 경계를 계산하는데도 사용되었습니다 (COZY Infinity 웹 사이트에 연결된 Makino 및 Berz의 작업 참조). Barton (글로벌은 출판물 목록 에 속함 )에 의한 글로벌 최적화 및 화학 공학 설계 응용 (다른 것들 중에서 ), Neumaier에 의한 우주선 및 글로벌 최적화 (다른 것들 중)에 사용 (다시 말해서 링크는 출판물 목록에 해당) ), Kearfott (다른 출판물 목록)에 의한 전역 최적화 및 비선형 방정식 솔버 및 불확실성 정량화 (다양한 소스; Barton이 그 중 하나임).
마지막으로, 고지 사항 : Barton은 저의 논문 고문 중 하나입니다.
답변
구간 산술은 수학적으로 엄격한 증거를 제공합니다.
실제 응용의 좋은 예는 Mark Stadtherr 와 그의 연구 그룹의 연구입니다. 특히, 상 평형 및 안정성 계산은 구간 방법으로 성공적으로 해결됩니다.
실제 배경과 관련하여 훌륭한 벤치 마크 모음은 ALIAS 웹 사이트에 있습니다.
답변
구간 산술 및 일반화의 또 다른 특징은 적응 을 허용한다는 것입니다. 함수 영역을 탐색 입니다. 따라서 컴퓨터 그래픽에서 예를 들기 위해 적응 형 기하학적 모델링, 처리 및 렌더링에 사용할 수 있습니다.
간격 법은 최근 Lorenz 유치자 및 Kepler 추측에 혼돈이 존재하는 것과 같은 어려운 수학적 이론에 대한 증거로 등장했습니다. 이러한 응용 프로그램 및 기타 응용 프로그램에 대해서는 http://www.cs.utep.edu/interval-comp/kearfottPopular.pdf 를 참조 하십시오 .
답변
구간 산술은 기하 알고리즘에 매우 유용합니다. 이러한 기하 알고리즘은 기하 객체 세트 (예를 들어, 점 세트)를 입력으로 취하여 점들 사이의 공간 관계에 기초하여 조합 데이터 구조 (예를 들어 삼각 측량)를 구성한다. 이 알고리즘은 고정 된 수의 기하학적 객체를 입력으로 사용하고 불연속 값 (일반적으로 ‘위, 정렬, 아래’중 하나)을 반환하는 ‘조건 자’라는 소수의 함수에 의존합니다. 이러한 술어는 일반적으로 점 좌표 결정 요인의 부호에 해당합니다.
표준 부동 소수점 숫자를 사용하는 것만으로는 충분하지 않습니다. 결정자의 부호를 정확하게 계산하지 못하고 더 나쁜 결과로 일관성이없는 결과를 반환 할 수 있습니다 (즉, A가 B보다 높고 B가 A보다 높다고 말하면 알고리즘이 메쉬 대신 엉망!). 체계적으로 다중 정밀도 (Gnu 다중 정밀도 라이브러리 및 다중 정밀도 부동 소수점 숫자로의 MPFR 확장)를 사용하면 성능이 크게 저하됩니다. 기하 술어가 (대부분의 경우와 같이) 무언가의 부호 인 경우, 구간 산술을 사용하면 더 빠른 계산을 수행 할 수 있으며 구간에 0이있는 경우에만보다 광범위한 다중 정밀도 계산을 시작할 수 있습니다.
이러한 접근 방식은 몇 가지 큰 계산 기하학 코드 (예 : CGAL)에 사용됩니다.