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랜덤 변수 랜덤 변수의

랜덤 변수의 의존성과 랜덤 변수의 기능에 대해 말할 수 있습니까? 예를 들어

X2

는

X

?

답변

다음은 약간의 왜곡으로 @cardinal의 주석에 대한 증거입니다. 만약 와 F ( X ) 되어 독립적 인 다음
P ( X ∈ ∩ F – 1 ( B ) ) = P ( X ∈ , F ( X ) ∈ B )

X

f(X)

A=f–1(B)를
취하면 방정식
P(f(X)∈B)=P(f(X)∈B)2,
이는 두 용액을 0과 1 갖는다 따라서P(F(X를)

P(X∈A∩f−1(B))=P(X∈A,f(X)∈B)=P(X∈A)P(f(X)∈B)=P(X∈A)P(X∈f−1(B))

A=f−1(B)

P(f(X)∈B)=P(f(X)∈B)2,

모두 B . 완전한 일반성으로는 더 이상 말할 수 없습니다. 경우 X 및 F ( X는 ) 무관하고 f를 ( X는 ) 어떤 위해 이러한 변수 등이며 B 가의 하나 인 B 이상에서 B의 C , 예를 자세히 말 한 필요 이상의 가정과 확률 1. 그 싱글 세트 { b } 는 측정 가능하다.

P(f(X)∈B)∈{0,1}

B

X

f(X)

f(X)

B

B

Bc

{b}

그러나 측정 이론 수준의 세부 사항은 OP의 주요 관심사 인 것으로 보이지 않습니다. 경우 진짜이고 F는 실제 함수이다 (우리가 사용 보렐 σ -algebra, 말), 다음 촬영 B = ( – ∞ , B는 ] 이 분포에 대한 분포 함수 것을 다음 f는 ( X ) 만 소요 값 0과 1이므로 b 가 0 에서 1로 점프 하고 P ( f ( X ) = b ) = 1 인 b가 있습니다.

X

f

σ

B=(−∞,b]

f(X)

b

0

1

P(f(X)=b)=1

.

하루가 끝나면 OPs 질문에 대한 대답은 와 f ( X ) 는 일반적으로 매우 특수한 상황에서 독립적이며 독립적입니다. 또한 Dirac 측정 값 δ f ( x )는 항상 X = x가 주어지면 f ( X ) 의 조건부 분포에 적합합니다 . 이는 X = x 를 아는 경우 공식적으로 f ( X ) 를 알고 있다는 공식적인 방법입니다

X

f(X)

δf(x)

f(X)

X=x

X=x

f(X)

입니다. 변성 조건부 분포를 갖는 이러한 특수한 의존성은 랜덤 변수의 함수에 특징적입니다.

답변

보조 정리 :하자 확률 변수하고하자 F가 되도록 (보렐 측정) 함수일 X 및 F ( X는 ) 독립적이다. 그러면 f ( X ) 는 거의 확실합니다. 즉, 일부가 ∈ R 되도록 P ( f는 ( X ) = ) = 1 .

X

f

X

f(X)

f(X)

a∈R

P(f(X)=a)=1

증거는 다음과 같습니다. 그러나 먼저 몇 가지 언급이 있습니다. Borel 측정 가능성은 합리적이고 일관된 방식으로 확률을 할당 할 수있는 기술적 조건 일뿐입니다. “거의 확실하다”는 또한 기술 일뿐입니다.

정리의 본질은 만약 우리가 와 f ( X ) 가 독립적 이기를 원한다면 , 우리의 유일한 후보는 f ( x ) = a 형식의 함수들이라는 것 입니다.

X

f(X)

f(x)=a

Contrast this with the case of functions

f

such that

X

and

f(X)

are uncorrelated. This is a much, much weaker condition. Indeed, consider any random variable

X

with mean zero, finite absolute third moment and that is symmetric about zero. Take

f(x)=x2

, as in the example in the question. Then 이므로 X 와 f ( X ) = X 2 는 서로 관련이 없습니다.

Cov(X,f(X))=EXf(X)=EX3=0

X

f(X)=X2

아래에서 나는 정리에 대한 가장 간단한 증거를 제시합니다. 모든 세부 사항을 최대한 명확 하게하기 위해 매우 장황 하게 만들었습니다 . 누구든지 그것을 개선하거나 단순화하는 방법을 알게되면, 나는 즐겁게 알고 있습니다.

증거의 아이디어는 우리가 알고있는 경우 직관적으로, , 우리는 알고 F ( X을 ) . 그래서 우리는 몇 가지 이벤트 찾을 필요가 σ ( X ) 에 의해 생성 된 시그마 대수 X 에 대한 우리의 지식에 관한 것으로, X를 의에 F ( X을 ) . 그런 다음 해당 정보를 X 와 f ( X )의 독립으로 가정 하여 사용 가능한 f에 대한 선택 이 심각하게 제한되었음을 보여줍니다 .

X

f(X)

σ(X)

X

X

f(X)

X

f(X)

f

표제어 증명 : 리콜 및 Y가 독립적 인 경우에만 모든 경우 ∈ σ ( X ) 및 B ∈ σ ( Y ) , P ( X ∈ , Y ∈ B ) = P ( X ∈ ) P ( Y ∈ B ) . 하자 Y = F ( X ) 일부 보렐 측정 기능에 대한 F를

X

Y

A∈σ(X)

B∈σ(Y)

P(X∈A,Y∈B)=P(X∈A)P(Y∈B)

Y=f(X)

f

such that

X

and

Y

are independent. Define

A(y)={ω:f(X(ω))≤y}

. Then,

A(y)={ω:X(ω)∈f−1((−∞,y])}


and since

(−∞,y]

is a Borel set and

f

is Borel-measurable, then

f−1((−∞,y])

is also a Borel set. This implies that

A(y)∈σ(X)

(by definition(!) of

σ(X)

).

Since

X

and

Y

are assumed independent and

A(y)∈σ(X)

, then

P(X∈A(y),Y≤y)=P(X∈A(y))P(Y≤y)=P(f(X)≤y)P(f(X)≤y),


and this holds for all

y∈R

. But, by definition of

A(y)


P(X∈A(y),Y≤y)=P(f(X)≤y,Y≤y)=P(f(X)≤y).


Combining these last two, we get that for every

y∈R

,

P(f(X)≤y)=P(f(X)≤y)P(f(X)≤y),


so

P(f(X)≤y)=0

or

P(f(X)≤y)=1

. This means there must be some constant

a∈R

such that the distribution function of

f(X)

jumps from zero to one at

a

. In other words,

f(X)=a

almost surely.

NB: Note that the converse is also true by an even simpler argument. That is, if

f(X)=a

almost surely, then

X

and

f(X)

are independent.

답변