증명 / 반증
E[1A|Ft]=0 or 1 a.s. ⇒E[1A|Fs]=E[1A|Ft] a.s.필터링 확률 공간이 주어 ,하자 .
(Ω,F,{Fn}n∈N,P)A∈F
가정 이 따릅니 까 그무엇에 대한 ?
∀s<t
대신아니면
내가 시도한 것 :
만약 다음 \ BBB E [1_A] = 1 와 동일 1_A = 1 (거의 확실). 이 경우 각 s 에 대해 \ Bbb E [1_A | \ mathscr F_s] = 1 (거의 확실합니다)입니다 .E [ 1 A ] = 1 1 A = 1 E [ 1 A | F s ] = 1 초
E[1A|Ft]=1E[1A]=1
1A=1
E[1A|Fs]=1
s
마찬가지로, 만약 , 다음 와 동일 (거의 확실). 이 경우 각 에 대해 (거의 확실합니다) .E [ 1 A ] = 0 1 A = 0 E [ 1 A | F s ] = 0 s
E[1A|Ft]=0E[1A]=0
1A=0
E[1A|Fs]=0
s
만약 , 일정에 대한 , 그 다음 우리가p ∈ ( 0 , 1 )
E[1A|Ft]=pp∈(0,1)
s > t
E[1A|Fs]=E[E[1A|Ft]|Fs]=E[p|Fs]=p. 이면 실패 할 수 있습니다 .
s>t대안으로 경우 :
=p하자 한정된 수 -measurable 확률 변수.F t
FFt
즉 와 독립적이다. 즉, 와 는 독립적입니다. 따라서 이므로 및 는 독립적 이므로 입니다. 이면 실패 할 수 있습니다 . F σ
1AF
F t σ ( A ) F s s < t E [ 1 A | F s ] = E [ 1 A ] = p s > t
σ(A)Ft
σ(A)
Fs
s<t
E[1A|Fs]=E[1A]=p
s>t Fs
Fs
이라는 아이디어가 있습니다.
답변
당신의 주장은 유효 해 보이지만, 당신은 입니다. 그러나이 질문은 , 임의 변수 은 세트 값을 취합니다. 즉 여기서 입니다. 이 조건부 기대의 정의 특성은 모든 대해 입니다 . 특히, 취 하면 , 여기서E [ 1 A | F t ] ∈ { 0 , 1 } 1 A d P F ∈ F t F = B P ( B )
E[1A|Ft]=1E[1A|Ft]∈{0,1}
{ 0 , 1 } E [ 1 A | F t ] = 1 B B ∈ F t ∫ F 1 B d P = ∫ F
E[1A|Ft]{0,1}
E[1A|Ft]=1B
B∈Ft
∫F1BdP=∫F1AdP
F∈Ft
F=B
B ⊂ A E [ E [ 1 A | F t ] ] = E [ 1 B ] P ( A ) = P ( B ) A = B
P(B)=P(A∩B)B⊂A
(가능성 가능성이 0 인 경우 제외). 그러나 우리는 (당신이 작성한 논증에서와 같이) 즉 이므로 가능한 결론은 (확률이 0 인 경우 제외)입니다.
E[E[1A|Ft]]=E[1B]P(A)=P(B)
A=B
대한 , 조건부 기대의 타워 법이 의미하는 그래서 . 그러나 이므로 . 따라서 대한 모든 조건부 기대 값은 같습니다 . 대한 , 경우 우리는 여전히해야합니다 . 반면에 가 없는 시간으로 돌아 가면 아무 말도 할 수 없다고 생각합니다F t ⊂ F s E [ 1 A | F t ] = E [ E [ 1 A | F t ] | A ∈ F s E [ 1 A | F s ] = 1 A A
s>tFt⊂Fs
E[ 1 A | F t ]= 1 A E[ 1 A | F s ]= 1 A s>t 1 A s<t
E[1A|Ft]=E[E[1A|Ft]|Fs]E[1A|Ft]=1A
E[1A|Fs]=1A
s>t
1A
s<t
A∈Fs
E[1A|Fs]=1A
A
E[ 1 A | F s ]A={ ω 2 }∈ F 2 ∖ F 1 E[ 1 A | F 0 ]= 1
FsE[1A|Fs]
일반적으로 . 구체적인 예는 그림 1 의이 백서를 참조하십시오. 예를 들어 하면 조건부 기대치 시퀀스 , , , .
A={ω2}∈F2∖F1E[1A| F1]=1
E[1A|F0]=181ΩE[1A| F2]=1{ω2}E[1A|
E[1A|F1]=121{ω1,ω2}E[1A|F2]=1{ω2}
E[1A|F3]=1{ω2}