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누군가가 면접에서이 질문을하고 공동 분포가 항상 가우시안이라고 답했습니다. 나는 항상 평균과 분산 및 공분산으로 이변 량 가우시안을 작성할 수 있다고 생각했습니다. 두 가우시안의 공동 확률이 가우시안이 아닌 경우가 있는지 궁금합니다.

답변

이변 량 정규 분포는 예외 가 아니라 규칙입니다!

정규 한계를 갖는 “거의 모든”관절 분포가 이변 량 정규 분포 가 아님 을 인식하는 것이 중요합니다 . 즉, 이변 량 법선이 아닌 법선 한계 값을 갖는 관절 분포가 어떻게 든 “병리학 적”이라는 일반적인 관점은 약간 잘못된 것입니다.

다변량 법선은 선형 변환에서의 안정성으로 인해 매우 중요하므로 응용 분야에서 많은 관심을 받고 있습니다.

예

몇 가지 예제로 시작하는 것이 좋습니다. 아래 그림은 여섯 개 이변 량 분포의 히트 맵을 포함 하는 모든 표준 정규 marginals이있는이. 맨 위 줄의 왼쪽과 가운데는 이변 량 법선이고 나머지는 그렇지 않습니다 (명백해야 함). 아래에 더 자세히 설명되어 있습니다.

copulas의 베어 본

의존성의 속성은 종종 copulas를 사용하여 효율적으로 분석됩니다 . 이변 접합부는 단위 제곱에 대한 확률 분포 단지 공상 이름 로 균일 marginals. $[0, 1]^{2}$

[0,1]2

가 이변 량의 copula 라고 가정하십시오 . 그런 다음 위에서 바로 , 및 입니다. $C (u, v)$

C(u,v)

$C (u, v) \geq 0$

C(u,v)≥0

$C (u, 1) = u$

C(u,1)=u

$C (1, v) = v$

C(1,v)=v

이변 량 copula의 간단한 변형으로 미리 지정된 한계 값을 갖는 유클리드 평면에 이변 량 랜덤 변수를 생성 할 수 있습니다 . 하자 및 랜덤 변수 쌍에 대한 한계를 정하는 분포 . 그런 다음 가 이변 량 copula이면

는 한계 값 및 가있는 이변 량 분포 함수입니다 . 이 마지막 사실을 보려면

대해서도 같은 주장이 적용됩니다 . $F_{1}$

$F_{2}$

$(X, Y)$

(X,Y)

$C (u, v)$

C(u,v)

F (x, y) = C (F 1 (x), F 2 (y))

$F_{1}$

$F_{2}$

P (X \leq x) = P (X \leq x, Y < \infty) = C (F 1 (x), F 2 (\infty)) = C (F 1 (x), 1) = F 1 (x) .

$F_{2}$

연속 및 경우 Sklar 정리 는 대화를 암시하는 고유성을 암시합니다. 즉, 연속 마진이 , 인 이변 량 분포 가 주어지면 해당하는 copula는 고유합니다 (적절한 범위 공간에서). $F_{1}$

$F_{2}$

$F (x, y)$

F(x,y)

$F_{1}$

$F_{2}$

이변 량 법선은 예외적입니다

Sklar의 정리는 (실질적으로) 이변 량 정규 분포를 생성하는 하나의 copula 만 있다고 말합니다. 이것은, 적절하게 상기라는 가우시안 접합부 의 밀도가
여기서 분자는 및 에서 평가 된 상관 관계 갖는 이변 량 정규 분포입니다. . $[0, 1]^{2}$

[0,1]2

c ρ (u, v) : = \partial 2 \partial u \partial v C ρ (u, v) = φ 2 , ρ ( Φ - 1 ( u ) , Φ - 1 ( v ) ) φ ( Φ - 1 ( u ) ) φ ( Φ - 1 ( v ) ),

$ρ$

$Φ^{- 1} (u)$

Φ−1(u)

$Φ^{- 1} (v)$

Φ−1(v)

그러나, 거기에 많은 다른 copulas의은과 모든 그들이다 정상 marginals와 이변 량 분포를 줄 것이다 없습니다 이전 섹션에 설명 된 변환을 사용하여 이변 량 정상을.

예제에 대한 세부 사항

참고한다면 그 오전이며 , 임의의 밀도와 접합부 의 변화 하에서 표준 정규 marginals와 해당 이변 밀도 는
$C (u, v)$

C(u,v)

$c (u, v)$

c(u,v)

$F (x, y) = C (Φ (x), Φ (y))$

F(x,y)=C(Φ(x),Φ(y))

f (x, y) = φ (x) φ (y) c (Φ (x), Φ (y)) .

위의 방정식에서 가우스 copula를 적용하여 2 변량 정규 밀도를 회복합니다. 그러나 다른 선택에 대해서는 그렇지 않습니다. $c (u, v)$

c(u,v)

그림의 예는 다음과 같이 구성되었습니다 (한 번에 한 열씩 각 행을 이동).

독립 성분을 가진 이변 량 법선.
이변 량 법선 . $ρ = - 0.4$
이 Dilip Sarwate의 답변 에 주어진 예 . 밀도 의 copula 에 의해 쉽게 유도되는 것을 볼 수 있습니다. . $C (u, v)$ $c (u, v) = 2 (1_{(0 \leq u \leq 1 / 2, 0 \leq v \leq 1 / 2)} + 1_{(1 / 2 < u \leq 1, 1 / 2 < v \leq 1)})$
매개 변수 Frank copula 에서 생성됩니다 . $θ = 2$
매개 변수 Clayton copula 에서 생성됩니다 . $θ = 1$
매개 변수 Clayton copula의 비대칭 수정으로 생성됩니다 . $θ = 3$

답변

다변량 법선 벡터의 각 요소는 그 자체로 정규 분포되어 있으며 그 평균과 분산을 추론 할 수 있습니다. 그러나 두 개의 구 아시안 랜덤 변수가 함께 정규 분포되어 있다는 것은 사실이 아닙니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

편집 : 점 질량 인 임의 변수가 인 정규 분포 변수로 생각할 수 있다는 의견에 동의하여 예제를 변경하고 있습니다. $σ^{2} = 0$

σ2=0

하자 및하자 A는 랜덤 변수. 즉, 각각 확률이 입니다. $X \sim N (0, 1)$

X∼N(0,1)

$Y = X \cdot (2 B - 1)$

Y=X⋅(2B−1)

$B$

$B e r n o u l l i (1 / 2)$

Bernoulli(1/2)

$Y = \pm X$

Y=±X

$1 / 2$

1/2

먼저 에 표준 정규 분포가 있음을 보여줍니다 . $Y$

으로 총 확률의 법칙 ,

P (Y \leq y) = 1 2 (P (Y \leq y | B = 1) + P (Y \leq y | B = 0))

다음,

P (Y \leq y | B = 0) = P (- X \leq y) = 1 - P (X \leq - y) = 1 - Φ (- y) = Φ (y)

여기서 는 표준 일반 CDF 입니다. 비슷하게, $Φ$

P (Y \leq y | B = 1) = P (X \leq y) = Φ (y)

따라서,

P (Y \leq y) = 1 2 (Φ (y) + Φ (y)) = Φ (y)

따라서 의 CDF 는 이므로 입니다. $Y$

$Φ (\cdot)$

Φ(⋅)

$Y \sim N (0, 1)$

Y∼N(0,1)

이제 우리는 가 공동으로 정규 분포되지 않음 을 보여줍니다 . $X, Y$

X,Y

@cardinal이 지적했듯이, 다변량 법선의 한 특성은 요소의 모든 선형 조합이 정규 분포한다는 것입니다. 에는이 속성이 없습니다. $X, Y$

X,Y

Y + X = {2 X 0 if B = 1 if B = 0.

따라서 는 랜덤 변수와 0의 점 질량 의 혼합물 이므로 정규 분포를 사용할 수 없습니다. $Y + X$

Y+X

$50 / 50$

50/50

$N (0, 4)$

N(0,4)

답변

다음 게시물에는 주요 아이디어를 제공하고 시작하기위한 증명 개요 가 포함되어 있습니다 .

하자 두 개의 독립적 인 가우시안 랜덤 변수 일 및하자 수
$z = (Z_{1}, Z_{2})$

z=(Z1,Z2)

$x = (X_{1}, X_{2})$

x=(X1,X2)

x = (X 1 X 2) = (α 11 Z 1 + α 12 Z 2 α 21 Z 1 + α 22 Z 2) = (α 11 α 21 α 12 α 22) (Z 1 Z 2) = A z .

각 이지만 둘 다 동일한 독립 r.vs의 선형 조합이므로 공동으로 의존합니다. $X_{i} \sim N (μ_{i}, σ_{i}^{2})$

Xi∼N(μi,σi2)

정의
r.vs 쌍은 독립 정규 r.vs 의 선형 조합 로 쓸 수있는 경우 이변 량 정규 분포라고합니다 . $x = (X_{1}, X_{2})$

x=(X1,X2)

$x = A z$

x=Az

$z = (Z_{1}, Z_{2})$

z=(Z1,Z2)

보조 정리
하면 이변 량 가우시안 후 그 임의의 다른 선형 조합들은 다시 정상 랜덤 변수이다. $x = (X_{1}, X_{2})$

x=(X1,X2)

증거 . 사소한, 다른 사람을 화나게하지 않기 위해 건너 ped

속성 가 서로 관련이
없으면 독립적이며 그 반대도 마찬가지입니다. $X_{1}, X_{2}$

X1,X2

분포 $X_{1} | X_{2}$

X1|X2

가정 이전 만의 그들이 긍정적 인 변화가 제로가 단순에 대한 의미 가정하자 같은 가우스 r.vs 있습니다. $X_{1}, X_{2}$

X1,X2

가 에 의해 확장 된 부분 공간 인 경우 및 입니다. $S$

$X_{2}$

$X_{1}^{S} = \frac{ρ σ_{X_{1}}}{σ_{X_{2}}} X_{2}$

X1S=ρσX1σX2X2

$X_{1}^{S^{⊥}} = X_{1} - X_{1}^{S}$

X1S⊥=X1−X1S

$X_{1}$

과 는 선형 조합 이므로 도 동일합니다. 그것들은 공동 가우시안이고 상관되지 않으며 (증명) 독립적입니다. $X_{2}$

$z$

$X_{2}, X_{1}^{S^{⊥}}$

X2,X1S⊥

분해

는

X 1 = X S 1 + X S ⊥ 1

$E [X_{1} | X_{2}] = \frac{ρ σ_{X_{1}}}{σ_{X_{2}}} X_{2} = X_{1}^{S}$

E[X1|X2]=ρσX1σX2X2=X1S

V [X 1 | X 2] = V [X S ⊥ 1] = E [X 1 - ρ σ X 1 σ X 2 X 2] 2 = (1 - ρ) 2 σ 2 X 1 .

그런 다음

X 1 | X 2 \sim N (X S 1, (1 - ρ) 2 σ 2 X 1) .

두 개의 일 변량 가우스 랜덤 변수 는 조건부 와 도 가우시안입니다. $X, Y$

X,Y

$X | Y$

X|Y

$Y | X$

Y|X

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