따라서이 질문은 약간 지저분하지만 화려한 그래프를 포함시켜 그 내용을 보완합니다! 먼저 배경과 질문.

배경

개 범주에 대해 동일한 probailites를 가진 차원 다항 분포 를 가지고 있다고 가정 해 봅시다 . 하자 정규화 계수 (BE 하다 분포가) : $n$

$n$

$π = (π_{1}, \dots, π_{n})$

π=(π1,…,πn)

$c$

(c 1, \dots, c n) \sim Multinomial (1 / n, \dots, 1 / n) π i = c i n

이제 를 통한 배포 는 -simplex를 지원 하지만 개별 단계를 지원 합니다. 예를 들어, 경우이 분포는 다음과 같은 지원 (빨간색 점)을 갖습니다. $π$

$n$

$n = 3$

n=3

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

유사한 지원을 갖는 다른 분포는 차원 분포, 즉 단위 심플 렉스에 대한 균일 분포입니다. 예를 들어 다음은 3 차원 에서 무작위로 추출한 것입니다 . $n$

$Dirichlet (1, \dots, 1)$

Dirichlet(1,…,1)

$Dirichlet (1, 1, 1)$

Dirichlet(1,1,1)

이제 분포 에서 분포를 를 별도의 지원으로 분리합니다 . 내가 생각했던 이산화 (그리고 잘 작동하는 것 같음)는 심플 렉스의 각 지점을 가져 와서 지원하는 가장 가까운 지점으로 “반올림”하는 것 입니다. 3 차원 심플 렉스의 경우 각 색상 영역의 점이 가장 가까운 빨간색 점으로 “반올림”되어야하는 다음 파티션을 얻습니다. $π$

$Multinomial (1 / n, \dots, 1 / n)$

Multinomial(1/n,…,1/n)

$Dirichlet (1, \dots, 1)$

Dirichlet(1,…,1)

$π$

Dirichlet 분포가 균일하기 때문에 각 점에 대한 결과 밀도 / 확률은 각 점에 “반올림”되는 면적 / 볼륨에 비례합니다. 2 차원 및 3 차원 경우에 대해 이러한 확률은 다음과 같습니다.

( 이 확률은 Monte Carlo 시뮬레이션에서 온 것입니다 )

따라서 적어도 2 차원과 3 차원의 경우이 방식으로 을 이산함으로써 발생 하는 확률 분포는 의 확률 분포와 같습니다 . 이는 분포 의 정규화 된 결과입니다 . 나는 또한 4 차원으로 시도했지만 거기에서 효과가있는 것 같습니다. $Dirichlet (1, \dots, 1)$

Dirichlet(1,…,1)

$π$

$Multinomial (1 / n, \dots, 1 / n)$

Multinomial(1/n,…,1/n)

질문

그래서 내 주요 질문은 :

이러한 특정 방식으로 균일 한 Dirichlet을 분리 할 때 과의 관계가 추가 차원을 유지합니까? 관계가 전혀 유지됩니까? (Monte Carlo 시뮬레이션을 사용하여 이것을 시도했습니다 …) $Multinomial (1 / n, \dots, 1 / n)$

Multinomial(1/n,…,1/n)

또한 궁금합니다.

이 관계가 유지되면 알려진 결과입니까? 그리고 내가 인용 할 수있는 출처가 있습니까?
균일 한 Dirichlet의 이산화가 다항식과 관련이없는 경우. 비슷한 구조가 있습니까?

일부 상황

이 질문을하는 나의 이유는 비모수 적 부트 스트랩과 베이지안 부트 스트랩의 유사점을보고 있다는 것입니다. 또한 위의 3 차원 심플 렉스의 색상이 지정된 영역의 패턴이 보로 노이 다이어그램과 같은 모양이어야합니다. 이것에 대해 생각할 수있는 한 가지 방법 (Pascal의 Triangle / Simpex ( http://www.math.rutgers.edu/~erowland/pascalssimplices.html ))이 생각납니다. 컬러 영역의 크기가 2 차원 경우 파스칼 삼각형의 2 행, 3 차원 경우 파스칼 4 면체의 3 행을 따릅니다. 이것은 다항 분포와의 관계를 설명하지만 여기서는 정말 깊은 물 속에 있습니다 …

답변

이 두 분포는 마다 다릅니다 . $n \geq 4$

n≥4

표기법

격자 점은 정수 좌표를 갖도록 인수 심플 렉스의 크기를 조정합니다 . 이것은 아무것도 변경하지 않으며, 표기법을 조금 덜 성가신 것으로 생각합니다. $n$

에서 점 , …, 의 볼록 껍질로 주어진 -simplex 라고 합시다 . . 다시 말해, 이것은 모든 좌표가 음이 아닌 점과 좌표의 합이 지점 입니다. $S$

$(n - 1)$

(n−1)

$(n, 0, \dots, 0)$

(n,0,…,0)

$(0, \dots, 0, n)$

(0,…,0,n)

$R^{n}$

$n$

하자 세트 나타내는 격자 점 IE에서 해당 점 모든 좌표가 일체형이다. $Λ$

$S$

경우 격자 점, 우리하자 그 나타낸다 보로 노이 셀 에 해당 지점으로 정의 어느이다 (엄밀) 가까이에 의 다른 포인트보다 . $P$

$V_{P}$

$S$

$P$

$Λ$

에 두 가지 확률 분포를 넣을 수 있습니다 . 하나는 다항식 분포이며 점 은 확률이 입니다. 다른 하나는 Dirichlet 모델 이라고하며 , 각 에 의 부피에 비례하는 확률을 할당합니다 . $Λ$

$(a_{1}, . . ., a_{n})$

(a1,...,an)

$2^{- n} n! / (a_{1}! \dots a_{n}!)$

2−nn!/(a1!⋯an!)

$P \in Λ$

P∈Λ

$V_{P}$

매우 비공식적 인 정당성

다항식 모델과 Dirichlet 모델은 일 때마다 에 대해 다른 분포를 제공한다고 주장합니다 . $Λ$

$n \geq 4$

n≥4

이를 확인하려면 대소 문자 및 점 및 . 와 는 벡터 의한 변환을 통해 합동 한다고 주장합니다 . 이는 와 의 부피가 동일하므로 Dirichlet 모델에서 와 의 확률이 같습니다. 반면, 다항식 모델에서는 확률이 서로 다릅니다 ( 및 ). 분포가 같을 수 없습니다. $n = 4$

n=4

$A = (2, 2, 0, 0)$

A=(2,2,0,0)

$B = (3, 1, 0, 0)$

B=(3,1,0,0)

$V_{A}$

$V_{B}$

$(1, - 1, 0, 0)$

(1,−1,0,0)

$V_{A}$

$V_{B}$

$A$

$B$

$2^{- 4} \cdot 4! / (2! 2!)$

2−4⋅4!/(2!2!)

$2^{- 4} \cdot 4! / 3!$

2−4⋅4!/3!

와 가 하다는 사실 은 다음의 그럴듯하지만 명백하지 않은 (그리고 다소 모호한) 주장에서 됩니다. $V_{A}$

$V_{B}$

개연성 제 : 형상 및 크기 전용의 “바로 이웃”에 의해 영향을 (즉, 해당 포인트에서 다를 벡터로 같은 모양 , 여기서 과 다른 장소에있을 수 있음) $V_{P}$

$P$

$Λ$

$P$

$(1, - 1, 0, \dots, 0)$

(1,−1,0,…,0)

$1$

$- 1$

−1

와 의 “즉시 이웃”의 구성이 동일하다는 것을 알 수 , 와 가 합치합니다. $A$

$B$

$V_{A}$

$V_{B}$

경우 , 우리가 동일한 게임을 플레이 할 수 및 예를 들어 . $n \geq 5$

n≥5

$A = (2, 2, n - 4, 0, \dots, 0)$

A=(2,2,n−4,0,…,0)

$B = (3, 1, n - 4, 0, \dots, 0)$

B=(3,1,n−4,0,…,0)

나는이 주장이 완전히 명백하다고 생각하지 않으며, 약간 다른 전략 대신에 그것을 증명하지 않을 것이다. 그러나 이것이 대한 분포가 다른 이유에 대한보다 직관적 인 답변이라고 생각합니다 . $n \geq 4$

n≥4

엄격한 증거

위의 비공식적 정당성에서 와 같이 와 를 취하십시오 . 와 가 하다는 것을 증명하면 됩니다. $A$

$B$

$V_{A}$

$V_{B}$

감안 , 우리는를 정의한다 다음과 같이 점의 집합 인 ,되는 . (더 소화하기 방식으로 : . 는 최고 와 최저 차이가 1보다 작은 지점 세트입니다 .) $P = (p_{1}, \dots, p_{n}) \in Λ$

P=(p1,…,pn)∈Λ

$W_{P}$

$(x_{1}, \dots, x_{n}) \in S$

(x1,…,xn)∈S

$max_{1 \leq i \leq n} (a_{i} - p_{i}) - min_{1 \leq i \leq n} (a_{i} - p_{i}) < 1$

max1≤i≤n(ai−pi)−min1≤i≤n(ai−pi)<1

$v_{i} = a_{i} - p_{i}$

vi=ai−pi

$W_{P}$

$v_{i}$

우리는 것을 보여줍니다 . $V_{P} = W_{P}$

VP=WP

1 단계

클레임 : . $V_{P} \subseteq W_{P}$

VP⊆WP

이것은 매우 간단합니다 : 그 가정 하지 않을 . 하자 하고, (일반성의 손실없이) 가정이 , . 부터 , 우리는 또한 알고 . $X = (x_{1}, \dots, x_{n})$

X=(x1,…,xn)

$W_{P}$

$v_{i} = x_{i} - p_{i}$

vi=xi−pi

$v_{1} = max_{1 \leq i \leq n} v_{i}$

v1=max1≤i≤nvi

$v_{2} = min_{1 \leq i \leq n} v_{i}$

v2=min1≤i≤nvi

$v_{1} - v_{2} \geq 1$

v1−v2≥1

$\sum_{i = 1}^{n} v_{i} = 0$

∑i=1nvi=0

$v_{1} > 0 > v_{2}$

v1>0>v2

이제 . 이후 및 음이 아닌 좌표가 모두 그렇게 , 그리고 그 다음 따라서 그리고 . 한편, 입니다. 따라서 는 와 최소한 가깝기 때문에 . 이것은 를 보완 합니다. $Q = (p_{1} + 1, p_{2} - 1, p_{3}, \dots, p_{n})$

Q=(p1+1,p2−1,p3,…,pn)

$P$

$X$

$Q$

$Q \in S$

Q∈S

$Q \in Λ$

Q∈Λ

${d i s t}^{2} (X, P) - {d i s t}^{2} (X, Q) = v_{1}^{2} + v_{2}^{2} - (1 - v_{1})^{2} - (1 + v_{2})^{2} = - 2 + 2 (v_{1} - v 2) \geq 0$

dist2(X,P)−dist2(X,Q)=v12+v22−(1−v1)2−(1+v2)2=−2+2(v1−v2)≥0

$X$

$Q$

$P$

$X \notin V_{P}$

X∉VP

$V_{p} \subseteq W_{P}$

Vp⊆WP

2 단계

주장 : 는 쌍으로 분리되어 있습니다. $W_{P}$

그렇지 않다고 가정하십시오. 하자 및 에서 별개의 포인트 수 및하자 . 이후 와 에서 뚜렷하고 모두 ,이 있어야 하나 개의 인덱스 여기서 , 한 곳 . 일반성을 잃지 않으면 서 및 가정합니다 . 재정렬하고 합하면 됩니다. $P = (p_{1}, \dots, p_{n})$

P=(p1,…,pn)

$Q = (q_{1}, \dots, q_{n})$

Q=(q1,…,qn)

$Λ$

$X \in W_{P} \cap W_{Q}$

X∈WP∩WQ

$P$

$Q$

$Λ$

$i$

$p_{i} \geq q_{i} + 1$

pi≥qi+1

$p_{i} \leq q_{i} - 1$

pi≤qi−1

$p_{1} \geq q_{1} + 1$

p1≥q1+1

$p_{2} \leq q_{2} - 1$

p2≤q2−1

$q_{1} - p_{1} + p_{2} - q_{2} \geq 2$

q1−p1+p2−q2≥2

이제 숫자 과 고려하십시오 . 사실 그에서 우리가 . 마찬가지로 는 임을 의미합니다 . 이것들을 합하면 가되고 모순이 . $x_{1}$

$x_{2}$

$X \in W_{P}$

X∈WP

$x_{1} - p_{1} - (x_{2} - p_{2}) < 1$

x1−p1−(x2−p2)<1

$X \in W_{Q}$

X∈WQ

$x_{2} - q_{2} - (x_{1} - q_{1}) < 1$

x2−q2−(x1−q1)<1

$q_{1} - p_{1} + p_{2} - q_{2} < 2$

q1−p1+p2−q2<2

3 단계

우리는 이고 는 분리 되어 있음을 보여 . 커버 계수 제로 세트에 근접하고 그 다음 (제로 계수들의 세트까지). [ 와 가 둘 다 열려 있기 때문에 실제로 정확히 갖지만 필수는 아닙니다.] $V_{P} \subseteq W_{P}$

VP⊆WP

$W_{P}$

$V_{P}$

$S$

$W_{P} = V_{P}$

WP=VP

$W_{P}$

$V_{P}$

$W_{P} = V_{P}$

WP=VP

이제 거의 끝났습니다. 점 및 . 와 가 이고 서로 번역되어 있음을 쉽게 알 수 있습니다. 차이가 될 수있는 유일한 방법은 의 경계 ( 와 가있는 얼굴 이외의 얼굴 )가``잘리는 ''것입니다 하나 또는 그러나 다른 없습니다. 그러나 경계의 이러한 부분에 도달 하려면 또는 의 하나의 좌표 를 적어도 1만큼 변경해야 에서 $A = (2, 2, n - 4, 0, \dots, 0)$

A=(2,2,n−4,0,…,0)

$B = (3, 1, n - 4, 0, \dots, 0)$

B=(3,1,n−4,0,…,0)

$W_{A}$

$W_{B}$

$S$

$A$

$B$

$W_{A}$

$W_{B}$

$S$

$A$

$B$

$W_{A}$

및 어쨌든. 따라서, 비록 유리한 점에서 보면 서로 다른 작업을 수행 와 의 차이의 정의에 의해 픽업되기에 너무 멀리 떨어져 및 , 따라서 및 합동이다. $W_{B}$

$S$

$A$

$B$

$W_{A}$

$W_{B}$

$W_{A}$

$W_{B}$

이 것을 다음 다음 및 그들이 다항 모델에서 서로 다른 확률에도 불구하고, 동일한 볼륨, 따라서 디리클레 모델 양수인들에게 동일한 확률을 가지고있다. $V_{A}$

$V_{B}$

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다항식 (1 / n,…, 1 / n)을 이산화 Dirichlet (1, .., 1)으로 특성화 할 수 있습니까? 들어, 경우이 분포는 다음과 같은 지원

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