변환은 3D 행렬로 표현 될 수 없습니다

간단한 주장은 번역이 원점 벡터를 취할 수 있다는 것입니다.

0
0
0

원점에서 멀어 지려면 다음과 같이 말합니다 x = 1.

1
0
0

그러나 다음과 같은 행렬이 필요합니다.

| a b c |   |0|   |1|
| d e f | * |0| = |0|
| g h i |   |0|   |0|

그러나 그것은 불가능합니다.

또 다른 논거는 Singular Value Decomposition theinging 인데, 이것은 모든 행렬이 2 개의 회전과 1 개의 스케일링 연산으로 구성 될 수 있다고 말합니다. 거기에 번역이 없습니다.

왜 행렬을 사용할 수 있습니까?

많은 모델링 된 객체 (예 : 자동차 섀시) 또는 모델링 된 객체 (예 : 자동차 타이어, 구동륜)의 일부는 견고합니다. 꼭지점 사이의 거리는 절대 변하지 않습니다.

우리가 그들에게하고 싶은 유일한 변화는 회전과 번역입니다.

행렬 곱셈은 회전과 변환을 모두 인코딩 할 수 있습니다.

회전 행렬에는 다음과 같은 명시적인 공식이 있습니다. 예를 들어, 각도 a에 대한 2D 회전 행렬 의 형식은 다음과 같습니다.

cos(a) -sin(a)
sin(a)  cos(a)

3D 와 유사한 공식 이 있지만 3D 회전에는 1 대신 3 개의 매개 변수가 사용됩니다 .

번역은 간단하지 않으며 나중에 논의 될 것입니다. 이것이 4D 매트릭스가 필요한 이유입니다.

행렬을 사용하는 것이 왜 멋진가요?

여러 행렬의 구성은 행렬 곱셈에 의해 미리 계산 될 수 있기 때문 입니다.

예를 들어, v자동차 섀시의 천 벡터 를 행렬 로 변환 한 T다음 행렬 R대신 회전 하는 경우 :

v2 = T * v

그리고:

v3 = R * v2

각 벡터에 대해 미리 계산할 수 있습니다.

RT = R * T

그런 다음 모든 정점마다 하나의 곱셈을 수행하십시오.

v3 = RT * v

더 좋은 방법 : 만약 우리가 차에 상대적인 타이어와 구동 휠의 꼭지점을 배치하고 싶다면, 우리는 이전의 행렬 RT에 자동차 자체에 대한 행렬을 곱하면 됩니다.

이것은 당연히 행렬 스택 을 유지 관리합니다 .

• 섀시 매트릭스 계산
• 타이어 매트릭스로 곱하기 (푸시)
• 타이어 매트릭스 제거 (팝)
• 휠 매트릭스를 구동하여 곱하기 (푸시)
• …

1 차원을 추가하면 문제가 해결되는 방법

시각화가 더 쉬운 1D에서 2D 로의 사례를 고려해 봅시다.

1D의 행렬은 하나의 숫자이며 3D에서 볼 수 있듯이 변환은 할 수없고 스케일링 만 할 수 있습니다.

그러나 추가 차원을 다음과 같이 추가하면

| 1 dx | * |x|  = | x + dx |
| 0  1 |   |1|    |      1 |

그런 다음 새로운 추가 차원에 대해 잊어 버립니다.

x + dx

우리가 원하는대로

이 2D 변형은 전단 변형 이라는 이름을 갖도록 매우 중요합니다 .

이 변환을 시각화하는 것이 좋습니다.

이미지 소스 .

모든 수평선 (고정 y)이 어떻게 변환 되는지 확인하십시오 .

방금 y = 1새로운 1D 라인으로 라인을 가져 와서 2D 매트릭스로 변환했습니다.

사물의 형태는 4D 전단 매트릭스와 함께 3D와 유사합니다.

| 1 0 0 dx |   | x |   | x + dx |
| 0 1 0 dy | * | y | = | y + dy |
| 0 0 1 dz |   | z |   | z + dz |
| 0 0 0  1 |   | 1 |   |      1 |

그리고 우리의 오래된 3D 회전 / 스케일링은 이제 형태가 있습니다 :

| a b c 0 |
| d e f 0 |
| g h i 0 |
| 0 0 0 1 |

이 Jamie King 비디오 자습서 도 시청할 가치가 있습니다.

적절한 공간

공간 정의는 모든 3D 선형 변환 (행렬 곱셈)과 4D 전단 (3D 변환)으로 생성 된 공간입니다.

전단 행렬과 3D 선형 변환을 곱하면 항상 다음과 같은 형식을 얻습니다.

| a b c dx |
| d e f dy |
| g h i dz |
| 0 0 0  1 |

이것은 3D 회전 / 스케일링 및 변환을 수행하는 가장 일반적인 가능한 아핀 변환입니다.

중요한 속성 중 하나는 2 개의 아핀 행렬을 곱하면 다음과 같습니다.

| a b c dx |   | a2 b2 c2 dx2 |
| d e f dy | * | d2 e2 f2 dy2 |
| g h i dz |   | g2 h2 i2 dz2 |
| 0 0 0  1 |   |  0  0  0   1 |

우리는 항상 다른 형태의 아핀 행렬을 얻습니다.

| a3 b3 c3 (dx + dx2) |
| d3 e3 f3 (dy + dy2) |
| g3 h3 i3 (dz + dz2) |
|  0  0  0          1 |

수학자들은이 속성 폐쇄 라고 하며 공간을 정의해야합니다.

우리에게는 최종 변환을 행복하게 계산하기 위해 행렬 곱셈을 계속 수행 할 수 있다는 것을 의미합니다. 따라서 더 일반적인 4D 선형 변환을 얻지 않고 사용 된 행렬을 먼저 사용하십시오.

절두체 투영

그러나 우리가 항상하는 또 하나의 중요한 변환이 있습니다. 즉 glFrustum, 객체를 2 배 더 멀리 만드는 것은 2 배 더 작아 보입니다.

먼저 https : glOrtho//.com/questions/2571402/explain-the-usage-of-glortho/36046924#36046924 glFrustum에서 vs 에 대한 직관을 얻으십시오 .

glOrthotranslations + scaling만으로 수행 할 수 있지만 glFrustum행렬로 어떻게 구현할 수 있습니까?

한다고 가정:

• 우리의 눈은 -z를보고 원점에 있습니다.
• 스크린 (평면 근처)은 z = -1길이 2의 제곱입니다.
• 절두체의 먼 평면은 z = -2

더 일반적인 유형의 벡터 4 개만 허용 한 경우 :

(x, y, z, w)

와 w != 0, 또한 우리는 모든을 식별 (x, y, z, w)로 (x/w, y/w, z/w, 1), 다음 매트릭스와 절두체 변환은 다음과 같습니다

| 1 0  0 0 |   | x |   |  x |               | x / -z |
| 0 1  0 0 | * | y | = |  y | identified to | y / -z |
| 0 0  1 0 |   | z |   |  z |               |     -1 |
| 0 0 -1 0 |   | w |   | -z |               |      0 |

우리가 던져 경우 z와 w마지막에, 우리는 얻을 :

• x_proj = x / -z
• y_proj = y / -z

정확히 우리가 원하는 것입니다! 다음과 같은 일부 값의 경우 다음을 확인할 수 있습니다.

• 경우 z == -1, 정확히 우리가 투영하고있는 비행기 x_proj == x와 y_proj == y.
• 경우 z == -2다음 x_proj = x/2개체는 절반 크기입니다.

glFrustum변환이 적절한 형식이 아닌 방법에 유의하십시오 . 회전과 변환만으로는 구현할 수 없습니다.

를 더하고 w나누는 수학적 “속임수”를 동종 좌표 라고 합니다.

참조 : 관련 스택 오버플로 질문 : https : //.com/questions/2465116/understanding-opengl-matrices

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