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Markov 체인에 대한 질문을하고 있으며 마지막 두 부분은 다음과 같이 말합니다.

이 Markov 체인에는 제한적인 분포가 있습니다. 답이 “예”이면 제한 분포를 찾으십시오. 대답이 “아니오”인 경우 이유를 설명하십시오.

이 Markov 체인에는 고정 분포가 있습니까? 답이 “예”이면 고정 분포를 찾으십시오. 대답이 “아니오”인 경우 이유를 설명하십시오.

차이점은 무엇입니까? 이전에는 제한 분포가 사용하여 계산할 때라고 생각 $P = C A^{n} C^{- 1}$

P=CAnC−1

했지만 이것이 $n$

번째 단계 전이 행렬입니다. 그들은 고정 분포라고 생각하는 사용하여 제한 분포를 계산했습니다 . $Π = Π P$

Π=ΠP

그러면 어느 것입니까?

답변

에서 확률 적 모델링에 소개 핀 스키와은 Karlin (2011)에 의해 :

$P = ∥ ∥ ∥ 0110 ∥ ∥ ∥$
$π = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
π=(12,12)
$(1 2, 1 2) ∥ ∥ ∥ 0110 ∥ ∥ ∥ = (1 2, 1 2)$

이전 섹션에서는 이미 다음과 같이 ” 제한 확률 분포 ” 를 정의 했습니다. $π$

$lim n \to \infty P (n) i j = π j f o r j = 0, 1, \dots, N$

그리고 동등하게

$lim n \to \infty Pr {X n = j | X 0 = i} = π j > 0 f o r j = 0, 1, \dots, N$
(p. 165).

위의 예제는 결정적으로 진동하므로 시퀀스에 한계가없는 것과 같은 방식 으로 한계가 없습니다. ${1, 0, 1, 0, 1, \dots}$

{1,0,1,0,1,…}

그들은 정기적 인 Markov 체인 (모든 n- 단계 전이 확률이 긍정적 인)은 항상 제한적인 분포를 가지고 있으며 그것이 고유 한 음이 아닌 솔루션이어야 함을 증명합니다

$π j = \sum k = 0 N π k P k j, j = 0, 1, \dots, N, \sum k = 0 N π k = 1$
(p. 168 )

그런 다음 예제와 같은 페이지에

(4.27)을 만족하는 모든 세트 고정 확률 분포 라고합니다. $(π_{i})_{i = 0}^{\infty}$
(πi)i=0∞
Markov 체인의 . “고정”이라는 용어는 고정 분포에 따라 Markov 체인이 시작된 특성에서 모든 시점에이 분포를 따릅니다. 공식적으로 인 경우 모든 대해 입니다 . $\Pr {X_{0} = i} = π_{i}$
Pr⁡{X0=i}=πi
$\Pr {X_{n} = i} = π_{i}$
Pr⁡{Xn=i}=πi
$n = 1, 2, \dots$
n=1,2,…

여기서 (4.27)은 방정식 세트입니다.

$π i \geq 0, \sum i = 0 \infty π i = 1, a n d π j = \sum i = 0 \infty π i P i j .$

이는 현재 무한한 수의 상태를 제외하고는 위와 동일한 고정 상태입니다.

이 정상 성의 정의를 사용하면 168 페이지의 명령문을 다음과 같이 소급해서 다시 정리할 수 있습니다.

정규 Markov 체인의 제한 배포는 고정 배포입니다.
Markov 체인의 제한 배포가 고정 배포 인 경우 고정 배포는 고유합니다.

답변

고정식 분포는 이러한 분포이다 단계에서의 상태들에 분포한다는 경우 인 단계에서의 상태에 대한 분포 또한 다음, 이다 . 즉,

리미팅 분포는 이러한 분포이다 초기 분포가 무엇인지에 상관없이, 주 모이는 걸쳐 분포하는 것이 단계의 수가 무한대 같이
$π$

$k$

$π$

$k + 1$

k+1

$π$

π = π P .

$π$

lim k \to \infty π (0) P k = π,

독립적입니다 . 예를 들어, 두 상태가 동전의 측면 인 인 Markov 체인을 고려해 봅시다 . 각 단계는 동전을 거꾸로 뒤집는 것으로 구성됩니다 (확률 1). 상태 분포를 계산할 때 이전 단계에 조건부로 적용되지 않습니다. 즉, 확률을 계산하는 사람은 동전을 볼 수 없습니다. 따라서 전이 행렬은

동전을 무작위로 뒤집어서 초기화하면 ( $π^{(0)}$

π(0)

${h e a d s, t a i l s}$

{heads,tails}

P = (0110) .

) 다음 모든 후속 시간 단계가이 분포를 따릅니다. (공정한 동전을 뒤집어 뒤집어 놓으면 머리 확률은 여전히입니다.) 따라서 는이 Markov 체인의 고정 분포입니다. $π^{(0)} = (\begin{matrix} 0.5 & 0.5 \end{matrix})$

π(0)=(0.50.5)

$0.5$

0.5

$(\begin{matrix} 0.5 & 0.5 \end{matrix})$

(0.50.5)

그러나,이 체인이 제한 분포를하지 않습니다 : 그것은 확률로 머리를 수 있도록 우리가 동전을 초기화 가정 . 이후의 모든 상태는 초기 상태에 의해 결정되는 바와 같이 다음, 단계 짝수 후 상태 확률 헤드 인 과 같이 홀수 후의 상태 확률 헤드 인 . 이 단계는 아무리 많은 단계를 수행하든 유지되므로 상태 분포는 제한이 없습니다. $2 / 3$

2/3

$2 / 3$

2/3

$1 / 3$

1/3

$6$

P = (1 / 6 5 / 6 5 / 6 1 / 6) .

$0.5$

0.5

$(\begin{matrix} 0.5 & 0.5 \end{matrix})$

(0.50.5)

답변

표기법을 제쳐두고“정 지적”이라는 단어는“한 번 도착하면 그곳에 머무를 것”을 의미합니다. “제한하는”이라는 단어는 “충분히 가면 결국 도착할 것”을 의미합니다. 이것이 도움이 될 것이라고 생각했습니다.

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“제한적”분포와“정적”분포의 차이점은 무엇입니까? 같이 말합니다.

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