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누구든지 Tikhonov 정규화 (정규 최소 제곱)에 대한 온라인 (재귀) 알고리즘의 방향을 알려 줄 수 있습니까?

오프라인 설정에서 n-fold cross validation을 사용하여 를 찾은 원래 데이터 세트를 사용하여 $\hat{β} = (X^{T} X + λ I)^{- 1} X^{T} Y$

β^=(XTX+λI)−1XTY

를 계산 합니다. 사용하여 주어진 대해 새로운 값을 예측할 수 있습니다 . $λ$

$y$

$x$

$y = x^{T} \hat{β}$

y=xTβ^

온라인 설정에서 나는 지속적으로 새로운 데이터 포인트를 그립니다. 전체 데이터 세트 (원본 + 신규)에서 전체 재 계산을 수행하지 않고 새로운 추가 데이터 샘플을 그릴 때 어떻게 업데이트 할 수 $\hat{β}$

β^

있습니까?

답변

${\hat{β}}_{n} = (X X^{T} + λ I)^{- 1} \sum_{i = 0}^{n - 1} x_{i} y_{i}$

β^n=(XXT+λI)−1∑i=0n−1xiyi

하자 , 다음 $M_{n}^{- 1} = (X X^{T} + λ I)^{- 1}$

Mn−1=(XXT+λI)−1

${\hat{β}}_{n + 1} = M_{n + 1}^{- 1} (\sum_{i = 0}^{n - 1} x_{i} y_{i} + x_{n} y_{n})$

β^n+1=Mn+1−1(∑i=0n−1xiyi+xnyn)

및

$M_{n + 1} - M_{n} = x_{n} x_{n}^{T}$

Mn+1−Mn=xnxnT

, 우리는 얻을 수 있습니다

${\hat{β}}_{n + 1} = {\hat{β}}_{n} + M_{n + 1}^{- 1} x_{n} (y_{n} - x_{n}^{T} {\hat{β}}_{n})$

β^n+1=β^n+Mn+1−1xn(yn−xnTβ^n)

에 따르면 우드 베리 공식 , 우리가

$M_{n + 1}^{- 1} = M_{n}^{- 1} - \frac{M_{n}^{- 1} x_{n} x_{n}^{T} M_{n}^{- 1}}{(1 + x_{n}^{T} M_{n}^{- 1} x_{n})}$

Mn+1−1=Mn−1−Mn−1xnxnTMn−1(1+xnTMn−1xn)

결과적으로

${\hat{β}}_{n + 1} = {\hat{β}}_{n} + \frac{M_{n}^{- 1}}{1 + x_{n}^{T} M_{n}^{- 1} x_{n}} x_{n} (y_{n} - x_{n}^{T} {\hat{β}}_{n})$

β^n+1=β^n+Mn−11+xnTMn−1xnxn(yn−xnTβ^n)

Polyak 평균화 는
를 사용하여 을 범위가 근사값에 사용할 수 있음을 나타냅니다. 에 . 귀하의 경우 재귀에 가장 적합한 를 선택하려고 시도 할 수 있습니다 . $η_{n} = n^{- α}$

ηn=n−α

$\frac{M_{n}^{- 1}}{1 + x_{n}^{T} M_{n}^{- 1} x_{n}}$

Mn−11+xnTMn−1xn

$α$

$0.5$

0.5

$1$

$α$

배치 그라디언트 알고리즘을 적용하면 작동한다고 생각합니다.

${\hat{β}}_{n + 1} = {\hat{β}}_{n} + \frac{η_{n}}{n} \sum_{i = 0}^{n - 1} x_{i} (y_{i} - x_{i}^{T} {\hat{β}}_{n})$

β^n+1=β^n+ηnn∑i=0n−1xi(yi−xiTβ^n)

답변

지금까지 아무도 다루지 않은 점은 일반적 으로 데이터 포인트가 추가 될 때 정규화 매개 변수 일정하게 유지하는 것이 의미가 없다는 것 입니다. 그 이유는 는 일반적으로 데이터 포인트 수에 따라 선형 적으로 증가하지만 정규화 용어 는 그렇지 않습니다. $λ$

$‖ X β - y ‖^{2}$

‖Xβ−y‖2

$‖ λ β ‖^{2}$

‖λβ‖2

답변

아마도 확률 적 그라디언트 디센트 와 같은 것이 여기에서 작동 할 수 있습니다. 계산 초기 데이터 세트에 위의 식을 이용하여, 즉 당신의 시작 예상됩니다. 각각의 새로운 데이터 포인트에 대해 한 단계의 경사 하강을 수행하여 모수 추정치를 업데이트 할 수 있습니다. $\hat{β}$

β^

답변

선형 회귀 분석에서 한 가지 가능성은 여기에 설명 된대로 의 QR 분해를 직접 업데이트하는 것 입니다. 새로운 각 데이터 포인트가 추가 된 후 를 다시 추정하지 않는 한 능선 회귀로 매우 유사한 것을 수행 할 수 있다고 생각합니다. $X$

$λ$

답변

다음은 Woodbury 수식을 사용하는 것과 비교하여 대안이면서 덜 복잡한 방법입니다. 참고 와 같이 쓸 수있다 합계 . 우리는 온라인으로 물건을 계산하고 합계가 날아 가기를 원하지 않기 때문에 대체 수단 ( 및 )을 사용할 수 있습니다. $X^{T} X$

XTX

$X^{T} y$

XTy

$X^{T} X / n$

XTX/n

$X^{T} y / n$

XTy/n

와 를 다음 과 같이 쓰면 : $X$

$y$

X = ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ x T 1 ⋮ x T n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟, y = ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ y 1 ⋮ y n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟,

및 ( 번째 행 까지 계산)에 대한 온라인 업데이트를 다음과 같이 작성할 수 있습니다 . $X^{T} X / n$

XTX/n

$X^{T} y / n$

XTy/n

$t$

A t = (1 - 1 t) A t - 1 + 1 t x t x T t,

b t = (1 - 1 t) b t - 1 + 1 t x t y t .

그러면 의 온라인 견적 이됩니다 $β$

β^t = (A t + λ I) - 1 b t .

이것은 관측치를 추가 할 때 일정하게 유지되는 해석에도 도움이됩니다 . $λ$

이 절차는 https://github.com/joshday/OnlineStats.jl 이 선형 / 릿지 회귀의 온라인 추정치를 계산 하는 방법 입니다.

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