감마 분포가 및 매개 변수화되는 경우 :
αβ
E(Γ(α,β))=αβ
제곱 감마의 기대치를 계산하고 싶습니다.
E(Γ(α,β)2)=?
나는 그것이 생각 합니다 :
E(Γ(α,β)2)=(αβ)2+αβ2
후자의 표현이 올바른지 아는 사람이 있습니까?
답변
임의의 변수의 제곱에 대한 기대 값은 다음과 같이 분산과 기대 제곱입니다.
D2(X)=E([X−E(X)]2)=E(X2)−[E(X)]2⇒E(X2)=D2(X)+[E(X)]2
.
위와 같이 매개 변수화 된 distribution 의 기대 값은 (당신이 언급 한 것처럼)이고, 분산은 . 따라서 제곱의 기대 값은 다음과 같습니다.
Γα/β α/β2
(α/β)2+α/β2
입니다.
즉 : 당신이 맞아요.
답변
완전성을 위해 밀도에서 원시 모멘트를 직접 계산합니다. 먼저, 모양 / 속도 매개 변수화에서 감마 분포는 밀도 매개 변수의 선택에 대한 것을 당연하게 우리가 걸릴 것 , 우리가 이 결과는 ID에서 쉽게 도출 할 수 있습니다 그런 다음 양의 정수 대해 다음을 따릅니다 .
fX(x)=βαxα−1e−βxΓ(α),x>0.
α,β>0
∫x=0∞fX(x)dx=1,
∫z=0∞xz−1e−zdz=Γ(z).
k
E[Xk]=∫x=0∞xkfX(x)dx=1Γ(α)∫x=0∞βαxα+k−1e−βxdx=Γ(α+k)βkΓ(α)∫x=0∞βα+kxα+k−1e−βxΓ(α+k)dx=Γ(α+k)βkΓ(α),
여기서 두 번째 단계에서 적분은 같습니다. 이는 및 매개 변수를 가진 감마 밀도의 적분이기 때문입니다 . 들면 , 우리는 즉시 획득
1α+k
β
k=2
E[X2]=Γ(α+2)β2Γ(α)=(α+1)αβ2.
또 다른 방법은 순간 생성 함수를 사용하는 것입니다 : 적분을 수렴하기 위해 의 조건 이 필요한 경우우리는 이것을 같이 다시 쓸 수있다 그리고 그 다음
MX(t)=E[etX]=∫x=0∞βαxα−1e−βx+txΓ(α)dx=βα(β−t)α∫x=0∞(β−t)αxα−1e−(β−t)xΓ(α)dx=(ββ−t)α,t<β,
t
MX(t)=(1−t/β)−α,
E[Xk]=[dkMX(t)dtk]t=0=[(1−t/β)−α−k]t=0∏j=0k−1α+jβ=Γ(α+k)βkΓ(α).