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decidability

유한 한 “장애물”을 가진 벡터 추가 시스템 단어 성 . 이러한 단어가

VAS (Vector Addition System)는 유한 한 행동 입니다. 는 일련의 표시 입니다. 런은 마킹 비어 단어 성 . 이러한 단어가 존재하는 경우 우리는 그 말을 있다 도달 에서 .A ⊂ Z d A⊂ZdN d m 0 m 1 … m n ∀ i ∈ { 0 , … , n – 1 } , m i + 1 − m i ∈ A m nNdm0m1…mn∀i∈{0,…,n−1},mi+1−mi∈Amnm 0m0

VAS의 도달 가능성 문제는 결정 가능한 것으로 알려져 있지만 복잡성은 공개 된 문제입니다.

이제 금지 된 금지 표시 세트 ( 장애물 )가 있다고 가정 해 봅시다 . 도달 가능성의 문제가 여전히 결정 가능한지 알고 싶습니다.

직관적으로 유한 장애물 세트는 경로 만 로컬로 방해해야하므로 문제를 결정할 수 있어야합니다. 그러나 그것을 증명하는 것은 사소한 것처럼 보이지 않습니다.

EDIT . @ Jérôme의 답변을 허용되는 답변으로 유지하지만 후속 질문을 추가하고 싶습니다. 표시 세트가 이면 어떻게됩니까?Z dZd

답변

아이디어는 오늘 오후에 Grégoire Sutre와의 토론을 기반으로합니다.

문제는 다음과 같이 결정할 수 있습니다.

페트리 넷 는 전이라고하는 의 유한 쌍 세트입니다 . 전이 주어 우리로 나타낸다 구성들의 세트에 정의 된 이진 관계 의해 및 와 같은 벡터 가 있으면 . 우리는에 의해 나타내는 한 단계 접근 가능성과 관련하여 . 이 관계의 재귀적이고 전이적인 폐쇄는T N d × N d t = ( → u , → v ) t → N d → x t → → y → z ∈ N d → x = → u + → z → y = → v + → z T → ⋃ t ∈ T t → T ∗ →TNd×Ndt=(u⃗ ,v⃗ )→tNdx⃗ →ty⃗ z⃗ ∈Ndx⃗ =u⃗ +z⃗ y⃗ =v⃗ +z⃗ −→T⋃t∈T→t−→T∗ .

하자 위에 고전 componentwise 부분 주문 될 에 의해 정의 가있는 경우 이러한 그 . 세트 의 위쪽 폐쇄는 벡터 의 세트 입니다. . 집합 의 하향 폐쇄는 벡터 의 집합 입니다. .≤ N의 D → 유 ≤ → X → Z ∈ N의 D → X = → U + → Z → X N D ↑ → X { → V ∈ N의 D | ∃ → X ∈ → X .≤Ndu⃗ ≤x⃗ z⃗ ∈Ndx⃗ =u⃗ +z⃗ X⃗ Nd↑X⃗ → x ≤ → v } → X ↓ → X { → v ∈Nd∣∃ → x ∈ → x .{v⃗ ∈Nd∣∃x⃗ ∈X⃗ .x⃗ ≤v⃗ }X⃗ ↓X⃗ → v ≤ → x }{v⃗ ∈Nd∣∃x⃗ ∈x⃗ .v⃗ ≤x⃗ }

공지 그 경우 일부 제한된 세트 의 및 경우 페트리 네트, 우리는 새로운 페트리 네트를 계산할 수 모든 구성 에 대해 및 갖도록 경우에 한정해 . 실제로 가 전환이면 각 에 대해 여기서 는→ U =↑ → B → B NdTT → B → x , → y → x T → → y → x , → y ∈ → U → x T → B → → y t=( → u , → v ) → b ∈ → B t → b =( →U⃗ =↑B⃗ B⃗ NdTTB⃗ x⃗ ,y⃗ x⃗ −→Ty⃗ x⃗ ,y⃗ ∈U⃗ x⃗ −→TB⃗ y⃗ t=(u⃗ ,v⃗ )b⃗ ∈B⃗ u + → z , → v + → z ) → z Nd → z (i)=최대{ → b (i)– → u (i), → b (i)– → v (i),0}1≤i≤dT → U ={t →tb⃗ =(u⃗ +z⃗ ,v⃗ +z⃗ )z⃗ Nd 는 모든 대 . 공지 사항이 을 만족 요구 사항.z⃗ (i)=max{b⃗ (i)−u⃗ (i),b⃗ (i)−v⃗ (i),0}1≤i≤db ∣t∈T→ b ∈ → B }TU⃗ ={tb⃗ ∣t∈Tb⃗ ∈B⃗ }

이제 는 Petri net 이라고 가정하고 , 장애물 세트 인 입니다. 유한 세트 합니다. 와 같이 의 유한 세트 를 효과적으로 계산할 수 있음을 관찰하십시오 . 하자 위에 정의 된 이진 관계 될 의해 경우 또는 존재 에 따라T → O → D = ↓ → O → B N d ↑ → B = N d ∖ → D R N d ∖ → O → x R → y → x = → y → x ′ , → y ′ ∈ N d ∖ → O → x T → → x ′ T ∗ →TO⃗ D⃗ =↓O⃗ B⃗ Nd↑B⃗ =Nd∖D⃗ RNd∖O⃗ x⃗ Ry⃗ x⃗ =y⃗ x⃗ ′,y⃗ ′∈Nd∖O⃗ B →→y′T→→yx⃗ −→Tx⃗ ′−→T∗B⃗ y⃗ ′−→Ty⃗ .

이제 초기 구성 에서 장애물 를 피하는 마지막 구성 이 있으면 설정하면 해당 세트의 가장 기본적인 구성으로 전달됩니다 . 따라서, 문제는 비 결정적 별개 구성 선택 감소 에 , 수정 로 초기 구성 , 을 최종 구성 로 확인하십시오.→ x → y → O → O → D ∖ → O → c 1,…, → c n → D ∖ → O → c 0 → x cn+1 → y → c jR → c j+1x⃗ y⃗ O⃗ O⃗ D⃗ ∖O⃗ c⃗ 1,…,c⃗ nD⃗ ∖O⃗ c⃗ 0x⃗ cn+1y⃗ c⃗ jRc⃗ j+1 모든 대 . 이 마지막 문제는 페트리 넷에 대한 고전적인 도달 가능성 질문으로 줄어 듭니다.제이j

답변

VAS와 동등한 상태 (VASS)를 가진 벡터 추가 시스템에 대한 귀하의 질문에 대해 생각 하고이 솔루션을 생각해 냈습니다. 이제 Jérôme의 좋은 답변을 읽었으며 내 답변이 매우 비슷 하다고 말해야하므로 내 말이 맞다고 생각하더라도 그의 답변을 수락하십시오.

아이디어 : VASS 를 VASS 로 변환 하여 장애물과 같거나 작은 벡터를 금지 할 수 있습니다. 벡터가 작지만 장애물과 같지 않은 벡터에 도달 할 수 있기 때문에 이것은 우리가 원하는 것이 아닙니다. 그러나 그러한 벡터는 무한히 많습니다. 이것은 최소 런을 의 전이 또는 의 동등한 런인 유한하게 많은 런으로 분해 할 수있게합니다 . 따라서, 예 , 문제는 decidable입니다.V V ‘ V V ‘VV′VV′

세부 사항 : 를 VASS로 지정하십시오. 즉, 는 유한 레이블이 지정된 그래프이므로 입니다. 하자 장애물 일 세트. 하자 및 우리 물품 마다 인 실행에서 로 마다 중간 구성 . 우리는V = ( Q , T ) D V T ⊆ Q × Z의 D × Q O ⊆ N D π ∈ T * X ⊆ N의 차원 P ( U ) π → X Q ( V ) π의 P ( U ) Q ( V ) Q × X ↓ X = { y : y ≤V=(Q,T)dVT⊆Q×Zd×QO⊆Ndπ­∈T∗X⊆NdX  일부  X ∈ X } .

하자 최소 실행될되도록 , 즉 최소한의 실행하도록 장애물을 피하십시오. 그런 다음 비둘기 구멍 원리에 따라 는 유한 한 횟수 만 들어가는 런으로 간주 할 수 있습니다 . 더 공식적으로, , 및 그러한π p ( u ) π → N d ∖ O q ( v ) π ↓ O ∖ O t 1 , t ′ 1 … , t n + 1 , t ′ n + 1 ∈ T ∪ { ε } π 1 , … , π n + 1 ∈ T ∗ { p i ( ui),qi(vi),ri(wi)}i∈[0,n+1]⊆Q×Nd

  • π=t1π1t′1⋯tn+1πn+1t′n+1 ,
  • ∀i∈[0,n] pi(ui)ti+1→Ndqi+1(vi+1)πi+1→Nd∖↓Ori+1(wi+1)t′i+1→Ndpi+1(ui+1)
  • p0(u0)=p(u), pn+1(un+1)=q(v) ,
  • ∀i∈[1,n] ui∈↓O∖O .
  • n≤|Q|⋅|↓O|.

따라서 , 및 중간 구성 을 추측하면 충분 합니다. 를 새로운 것으로 변환하여 를 수행 할 수 있는지 테스트 -VASS 여기서 각 전이 는 전이 의 가젯으로 대체됩니다 . 예를 들어, 이면 전이는 다음과 같이 대체됩니다.nt1,t′1,…,tn+1,t′n+1p(x)∗→Nd∖↓Oq(y)VdV′t∈T4|O|+1O={(1,5),(2,3)}

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