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나는 하나의 흡수 상태와 알려진 시작 위치를 가진 두 개의 다른 Markov 체인을 가지고 있습니다. 체인 1이 체인 2보다 적은 단계로 흡수 상태에 도달 할 확률을 결정하고 싶습니다.

나는 n 단계 후에 특정 체인에서 흡수 상태에 도달 할 확률을 계산할 수 있다고 생각합니다. $P$

이후 흡수 될 확률 $n$

단계는 $P_{i j}^{n}$

Pijn

어디 $i$

시작 상태이며 $j$

흡수 상태입니다.

그래도 여기서 어디로 가야할지 모르겠습니다. 필자가 본 유사한 문제는 주사위 (예를 들어, 합이 8의 합보다 7의 합을 구는 것)와 관련이 있지만, 특정 합을 구르는 확률은 일정하고 지금까지 취한 단계 수와 무관하기 때문에 해결하기가 더 쉽습니다.

답변

체인을 병렬로 실행하십시오. 결과 제품 체인에서 3 가지 흡수 상태를 정의하십시오.

첫 번째 사슬은 흡수 상태에 도달하지만 두 번째 사슬은 흡수되지 않습니다.
두 번째 체인은 흡수 상태에 도달하지만 첫 번째 체인은 흡수되지 않습니다.
두 체인 모두 동시에 흡수 상태에 도달합니다.

제품 체인에서이 세 가지 상태의 제한 확률은 관심의 기회를 제공합니다.

이 솔루션에는 일부 간단한 구조가 포함됩니다. 질문에서와 같이 $P = P_{i j}, 1 \leq i, j \leq n$

P=Pij,1≤i,j≤n

체인의 전이 행렬 $P$

. 체인이 상태 일 때 $i$

, $P_{i j}$

Pij

상태로의 전환 확률을 제공 $j$

. 흡수 상태 확률로 그 자체로 전환 할 $1$

어떤 주 $i$ 줄을 대체 할 때 흡수 될 수 있습니다 $P_{i} = (P_{i j}, j = 1, 2, \dots, n)$ 지표 벡터에 의한 것 $(0, 0, \dots, 0, 1, 0, \dots, 0)$ 와 $1$ 위치에 $i$ .
어떤 세트 $A$
A
새로운 사슬을 만들어 흡수 상태의 합병 $P / A$
P/A
누구의 주가 ${i | i \notin A} \cup {A}$
{i|i∉A}∪{A}
. 전이 행렬은

$(P / A) i j = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ P i j \sum k \in A P i k 01 i \notin A, j \notin A i \notin A, j = A i = A, j \notin A i = j = A .$
이것은 열을 합산하는 것입니다. $P$
P
에 해당하는 $A$
A
행을 교체하면 $A$
A
자체로 전환하는 단일 행으로.
두 체인 의 제품 $P$
P
주에서 $S_{P}$
SP
과 $Q$
Q
주에서 $S_{Q}$
SQ
전이 행렬과 함께 $P$
P
과 $Q$
Q
각각 국가의 마르코프 체인입니다 $S_{P} \times S_{Q} = {(p, q) | p \in S_{P}, q \in S_{Q}}$
SP×SQ={(p,q)|p∈SP,q∈SQ}
전이 행렬로

$(P \otimes Q) (i, j), (k, l) = P i k Q j l .$
실제로, 제품 체인은 두 체인을 병렬로 실행하여 각각의 위치를 개별적으로 추적하고 독립적으로 전환합니다.

간단한 예가 이러한 구성을 명확히 할 수 있습니다. 폴리가 기회를 가지고 동전을 뒤집고 있다고 가정하자 $p$

착륙장 그녀는 머리를 관찰 할 때까지 그렇게 할 계획입니다. 동전 뒤집기 과정의 상태는 $S_{P} = {T, H}$

SP={T,H}

가장 최근 플립 결과를 나타냅니다. $T$

꼬리를 위해 $H$

머리를 위해. 폴리 (Poly)는 선두에 서서 계획함으로써 첫 번째 시공을 $H$

흡수 상태. 결과 전이 행렬은

P = (1 - p 0 p 1) .

그것은 임의의 상태에서 시작 $(1 - p, p)$

(1−p,p)

첫 번째 던지기에 의해 주어진.

폴리와 함께, 퀸시는 공정한 동전을 던질 것입니다. 그는 두 개의 머리를 연속으로보고 난 후에 멈출 계획이다. 따라서 Markov 체인은 현재 결과뿐만 아니라 이전 결과를 추적해야합니다. 두 개의 머리와 두 개의 꼬리의 네 가지 조합이 있습니다. $TH$

예를 들어 첫 번째 문자는 이전 결과이고 두 번째 문자는 현재 결과입니다. Quincy는 건설 (1)을 적용하여 $HH$

흡수 상태. 그렇게 한 후, 그는 실제로 네 가지 상태가 필요하지 않다는 것을 알고 있습니다. 그는 체인을 세 가지 상태로 단순화 할 수 있습니다. $T$

현재 결과가 꼬리임을 의미합니다. $H$

현재 결과가 머리임을 의미하며 $X$

마지막 두 결과는 두 가지 모두를 의미합니다. 이것은 흡수 상태입니다. 전이 행렬은

Q = ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ 1 2 1 2 0 1 2 00 0 1 2 1 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ .

제품 체인은 6 가지 상태에서 실행됩니다. $(T, T), (T, H), (T, X); (H, T), (H, H), (H, X)$

(T,T),(T,H),(T,X);(H,T),(H,H),(H,X)

. 전이 매트릭스 A는 텐서 생성물 의 $P$

과 $Q$

쉽게 계산됩니다. 예를 들어 $(P \otimes Q)_{(T, T), (T, H)}$

(P⊗Q)(T,T),(T,H)

폴리가 $T$

에 $T$

그리고 동시에 (그리고 독립적으로) Quincy는 $T$

에 $H$

. 전자는 기회가 $1 - p$

1−p

후자는 $1 / 2$

1/2

. 체인이 독립적으로 실행되기 때문에 그 가능성은 배가되어 $(1 - p) / 2$

(1−p)/2

. 전체 전이 행렬은

P \otimes Q = ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 1 - p 2 1 - p 2 0000 1 - p 2 00000 0 1 - p 2 1 - p 000 p 2 p 2 0 1 2 1 2 0 p 2 00 1 2 00 0 p 2 p 0 1 2 1 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ .

두 번째 행렬에 해당하는 블록이있는 블록 행렬 형식입니다. $Q$

P \otimes Q = (P 11 Q P 21 Q P 12 Q P 22 Q) = ((1 - p) Q 0 p Q Q) .

폴리와 퀸시는 누가 먼저 목표를 달성 할 수 있는지 경쟁합니다. 승자가 처음으로 전환 될 때마다 승자가 폴리가됩니다. $(H, *)$

(H,*)

어디 $*$

아니다 $X$

; 승자가 처음 전환 될 때마다 우승자가 Quincy가됩니다. $(T, X)$

(T,X)

; 그 중 하나가 발생하기 전에 전환이 이루어지면 $(H, X)$

(H,X)

결과는 추첨이됩니다. 추적하기 위해, 우리는 상태를 만들 것입니다 $(H, T)$

(H,T)

과 $(H, H)$

(H,H)

(건설 (1)을 통해) 흡수 한 다음 (건설 (2)를 통해) 병합하십시오. 상태별로 정렬 된 결과 전이 행렬 $(T, T), (T, H), (T, X), {(H, T), (H, H)}, (H, X)$

(T,T),(T,H),(T,X),{(H,T),(H,H)},(H,X)

이다

R = ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 1 - p 2 1 - p 2 000 1 - p 2 0000 0 1 - p 2 100 p p 2 010 0 p 2 001 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ .

폴리와 퀸시의 동시 첫 투구 결과는 주가 될 것이다 $(T, T), (T, H), (T, X), {(H, T), (H, H)}, (H, X)$

(T,T),(T,H),(T,X),{(H,T),(H,H)},(H,X)

확률로 $μ = ((1 - p) / 2, (1 - p) / 2, 0, p, 0)$

μ=((1−p)/2,(1−p)/2,0,p,0)

, 각각 : 체인을 시작하는 초기 상태입니다.

한도에서 $n \to \infty$

n→∞

μ \cdot R n \to 1 1 + 4 p - p 2 (0, 0, (1 - p) 2, p (5 - p), p (1 - p)) .

따라서 세 가지 흡수 상태의 상대 확률 $(T, X), {(H, T), (H, H)}, (H, X)$

(T,X),{(H,T),(H,H)},(H,X)

(퀸시 승리, 폴리 승리, 대표) $(1 - p)^{2} : p (5 - p) : p (1 - p)$

(1−p)2:p(5−p):p(1−p)

의 기능으로 $p$

(폴리의 던지기 중 하나가 머리가 될 확률), 빨간색 곡선은 폴리의 우승 확률을 나타내고, 파란색 곡선은 퀸시의 우승 확률을 나타내며, 금색 곡선은 무승부 확률을 나타냅니다.

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두 개의 흡수 마르코프 체인이 주어지면, 하나가 다른 것보다 먼저 종결 될 확률은 얼마입니까? 확률 엔nn 단계는 피엔나는 jPijnP^n_{ij} 어디 나는ii

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